M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce

1.3

Doba potřebná ke studiu

Čas potřebný ke zvládnutí tohoto modulu je odhadnut pro průměrného studenta
jako hodnota nejméně 18 hodin.

1.4

Klíčová slova

Derivace funkce, diferenciál funkce, Taylorův polynom, l’Hospitalovo
pravidlo, asymptoty grafu funkce, extrémy funkce, průběh funkce.

Na konci modulu zařazen Rejstřík, ve kterém jsou další klíčová slova přehledně

uspořádána i s odkazy na odpovídající stránky.

1.5

Metodický návod k práci s textem

Text je uspořádán podle stejných zásad, jako ostatní dříve studované moduly
předmětu Matematika.

———————————————————————————————————

Kapitola 2

Derivace funkce

2.1

Derivace funkce

2.1.1

Pojem derivace, základní vlastnosti

Mějme funkci f : y = x2 a hledejme rovnici tečny k jejímu grafu v bodě P0 = [3, 9].
Uvažujme posloupnost bodů Pn = [3 + 1

n , (3 +

1

n )

2] grafu funkce f, která zřejmě

konverguje k bodu P0 (neboť 3 + 1

n → 3, (3 +

1

n )

2 → 9 pro n → ∞). Vedeme-

li postupně dvojicemi bodů P0 a Pn přímky (tzv. sečny), dostaneme následující
posloupnost (tg αn) směrnic sečen:

tg αn =

f (3 + 1

n ) − f (3)

3 + 1

n − 3

=

(3 + 1

n )

2 − 32

1

n

=

6

n +

1

n2

1

n

= 6 +

1

n

.

Odpovídající posloupnost sečen má n–tý člen sn : y −9 = (6+ 1

n )(x − 3). Je vidět,

že posloupnost sečen konverguje k tečně ke grafu funkce v bodě P0 a posloupnost
směrnic sečen konverguje k číslu 6, které nazveme směrnicí tečny ke grafu funkce
f v bodě P0. Tečna má proto rovnici t : y − 9 = 6(x − 3). Zobecníme naše
úvahy a budeme uvažovat obecně posloupnost bodů Pn = [3 + hn, (3 + hn)2, ] kde
(hn) →n→∞ 0, hn 6= 0, dostaneme obdobně, že (tg αn) → 6, neboť