M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
tg αn =
f (3 + hn) − f(3)
3 + hn − 3
=
6hn + h2n
hn
= 6 + hn.
Tyto úvahy nás vedou k následující definici.
Definice 2.1.1: Je-li funkce f definována v nějakém okolí U(x0) bodu x0 ∈ R
a existuje-li limita
lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
,
nazýváme ji derivací funkce f v bodě x0 a značíme ji f0(x0).
8
Derivace funkce
Pokud f 0(x0) ∈ R, říkáme, že fukce f má v bodě x0 vlastní derivaci. Je-li
f 0(x0) = ±∞, říkáme, že fukce f má v bodě x0 nevlastní derivaci. Pokud
limita neexistuje, řekneme, že fukce f nemá v bodě x0 derivaci, nebo že derivace
v bodě x0 neexistuje.
Existuje-li limx→x
0+
f (x)−f (x0)
x−x0
, nazýváme tuto limitu derivací zprava funkce
f v bodě x0 a značíme ji f0+(x0). Analogicky definujeme derivaci zleva a zna-
číme ji f 0
−(x0).
Je-li f funkce a M = {x ∈ R; existuje vlastní f 0(x0)}, pak funkci
f 0 : x 7→ f 0(x) s definičním oborem M nazveme derivací funkce f na mno-
žině M.
4
Poznámka: Při označení x = x0 + h používáme také zápis
f 0(x0) = lim
h→0
f (x0 + h) − f(x0)
h
.
¦ Slovem „derivaceÿ budeme v dalším textu rozumět vlastní derivaci.
Geometrický význam derivace
-
x
6
y
f
6
?
f (x) − f (x0)
³³
³³
³³
³³
³³
³³
³³
³³
³³
³
tečna
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
´
sečna
αs αt
A
AU
x0
x
←−
A
B
a
C
x − x0
Platí f 0(x) = tg αt = lim
x→x0
tg αs = lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
.
Rovnice tečny a normály ke grafu funkce f v bodě A = [x0, f(x0)] mají tvar
t : y − f (x0) = f0(x0) · (x − x0),
n : y − f (x0) = −
1
f 0(x0)
· (x − x0), pokud f0(x0) 6= 0.
———————————————————————————————————