M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce

používat označení y0 = f 0(x).

Cvičení 2.1.3: Zadané funkce derivujte a výsledek upravte:

1.

y = 3

3

√

x2 −

1

5x

+

√

π, x ∈ R − {0}.

Využitím vlastností A2, A1 a prvních vzorců z tabulky derivací dostáváme
pro x 6= 0

y0 = (3x

2
3

−

1
5

x−1 +

√

π )0 = 3 ·

2
3

· x

2
3 −1

−

1
5

· (−1) · x−2 + 0 =

2

3

√

x

+

1

5x2

.

Při derivování součinu c · f (x) konstanty s funkcí používejte pravidlo A1 a
konstantu vytkněte. Nederivujte c · f (x) jako součin funkcí.

2.

y =

3x + 2

x2 + 1

, x ∈ R.

Na základě vzorce A4 platí

y0 =

(3x + 2)0 · (x2 + 1) − (3x + 2) · (x2 + 1)0

(x2 + 1)2

=

=

3 · (x2 + 1) − (3x + 2) · 2x

(x2 + 1)2

=

−3x2 − 4x + 3

(x2 + 1)2

.

3.

y =

√

3x2 + 4, x ∈ R.

Zadanou funkci si vyjádříme jako složenou funkci, přičemž vnější složka je
funkce f (u) =

√

u, vnitřní složka u = g(x) = 3x2 + 4. Pak obdržíme

y0 = f 0(u) · g0(x)

|

{z

}

(f 0◦g)(x)·g0(x)

=

1
2

u−

1
2

· 6x =

1
2

·

1

√

3x2 + 4

· 6x =

3x

√

3x2 + 4

.

4.

y = sin2 (3x − 1), x ∈ R.

Abychom mohli použít vzorce z tabulky derivování elementárních funkcí,
vyjádříme si funkci jako „trojnásobně složenou funkciÿ, kde u = f1(x) =
3x − 1, v = f2(u) = sin u, f3(v) = v2. Pak dle B’ platí

y0 = f 0

3(v) · f

0

2(u) · f

0

1(x) = 2v · cos u · 3 = 2 sin (3x − 1) cos (3x − 1) · 3 =

= 3 sin (6x − 2).

Nejprve jsme tedy derivovali druhou mocninu, pak funkci sinus a nakonec
funkci 3x − 1.

———————————————————————————————————

14

Derivace funkce

5.

y =

1

arctg (2x + 1)

x ∈ R − {−

1
2

}.

Funkční předpis převedeme na tvar y = (arctg (2x + 1))−1 a derivujeme
podle vzorce B’ (zde není vhodné derivovat jako podíl funkcí). Pak