M06 - Diferenciální počet I, Derivace funkce

20

Derivace funkce

Příklad 2.5.1: Vypočtěte d3f (2, 0.3), jestliže f (x) = log (2x − 1).

Řešení: Určíme derivace

f 0(x) =

2

(2x − 1) · ln 10

, f 00(x) =

−4

(2x − 1)2 · ln 10

, f 000(x) =

16

(2x − 1)3 · ln 10

.

Pak

d3f (2, 0.3) = f 000(2) · (0.3)3 =

16

27 · ln 10

· 27 · 10−3 =

16

1000 · ln 10

.

Cvičení 2.5.1: Pro danou funkci f vypočítejte předepsané diferenciály.

1)

d3f (x0, h) pro f(x) = ln (1 + 2x)

2)

d2f (2, h) pro f (x) =

√

x2 − 1

3)

d2f (0, h) pro f (x) = 1

cos x

2.6

Taylorův polynom

Při výkladu diferenciálu jsme využili existence vlastní derivace f 0(x0) a aproxi-
movali jsme lokálně zadanou funkci f polynomem 1. stupně (pokud f 0(x0) 6= 0).
Platí přitom rovnice f (x) = f (x0) + f0(x0)(x − x0) + R1(x), kde R1(x) je zby-
tek (chyba), která vznikne nahrazením přírůstku funkčních hodnot přírůstkem na
tečně (diferenciálem df (x0, h) = f0(x0)h).

- x

6

y

P0

P

?

6

df (x0, h)

T

6

?

R1(x)

Dále je splněno

lim

x→x0

R1(x) = lim

x→x0

R1(x)

x − x0

= lim

x→x0

µ

f (x) − f (x0)

x − x0

− f 0(x0)

¶

= f 0(x0)−f0(x0) = 0,

což znamená, že chyba jde k nule „rychlejiÿ než přírůstek nezávisle proměnné x.

———————————————————————————————————

2.6 Taylorův polynom

21

Tento fakt potvrzuje rozumnost – smysluplnost naší aproximace.
Všimněme si, že při označení T1(x) = f(x0) + f0(x0)(x − x0) platí
T1(x0) = f(x0), T 01(x0) = f0(x0). Tyto rovnosti nám zaručily, že zmi-

ňovaná tečna se „přimykáÿ v dostatečně malém okolí bodu P0 ke grafu
funkce f „lépeÿ, než jakákoliv jiná přímka p 6= t (jde o tzv. nejlepší
lokální lineární aproximaci). Dá se očekávat, že pokud chceme dosáh-
nout vyšší přesnosti aproximace, můžeme použít polynomy vyšších
stupňů, přičemž budeme požadovat, aby se rovnaly funkční hodnoty
a hodnoty derivací v bodě x0 hledaného polynomu a zadané funkce.