2.Limity-příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
=
1
3
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Vypocˇteˇte
lim
x→0
x − arctg x
x3
lim
x→0
x − arctg x
x3
=
0
0
l0H.
= lim
x→0
1 −
1
1 + x2
3x2
=
0
0
pr.
= lim
x→0
1
3(1 + x2)
=
1
3
Dosadı´me. Prˇitom platı´
arctg 0 = 0 . Dosta´va´me neurcˇity´ vy´raz a
budeme pouzˇı´vat l’Hospitalovo pravidlo.
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Vypocˇteˇte
lim
x→0
x − arctg x
x3
lim
x→0
x − arctg x
x3
=
0
0
l0H.
= lim
x→0
1 −
1
1 + x2
3x2
=
0
0
pr.
= lim
x→0
1
3(1 + x2)
=
1
3
Dosadı´me a vidı´me zˇe se jedna´ sta´le o neurcˇity´ vy´raz.
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Vypocˇteˇte
lim
x→0
x − arctg x
x3
lim
x→0
x − arctg x
x3
=
0
0
l0H.
= lim
x→0
1 −
1
1 + x2
3x2
=
0
0
pr.
= lim
x→0
1
3(1 + x2)
=
1
3
Je sice mozˇno jesˇteˇ jednou aplikovat l’Hospitalovo pravidlo, tato
mozˇnost vsˇak vede ke slozˇity´m vy´pocˇtu˚m. Proto radeˇji upravı´me
slozˇeny´ zlomek
1 −
1
1 + x2
3x2
=
x
2
1 + x2
3x2
=
x
2
(1 + x2)3x2
=
1
3(1 + x2)
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Vypocˇteˇte
lim
x→0
x − arctg x
x3
lim
x→0
x − arctg x
x3
=
0
0
l0H.
= lim
x→0
1 −
1
1 + x2
3x2
=
0
0
pr.
= lim
x→0
1
3(1 + x2)
=
1
3
Dosadı´me. Funkce je spojita´ v bodeˇ x = 0 a limitu tedy urcˇı´me
prˇı´mo dosazenı´m.
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Find
lim
x→0+
x
ln x.
lim
x→0+
x
ln x = 0 × (−∞)
pr.
= lim
x→0+
ln x
1
x
=
−∞
∞
l0H.
= lim
x→0+
1
x
−
1
x2
pr.
= lim
x→0+
−x = 0
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Find
lim
x→0+
x
ln x.
lim
x→0+
x
ln x = 0 × (−∞)
pr.
= lim
x→0+
ln x
1
x
=
−∞
∞
l0H.
= lim
x→0+
1
x
−
1
x2
pr.
= lim
x→0+
−x = 0
We start with the limit and substitute.
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Find
lim
x→0+
x
ln x.
lim
x→0+
x
ln x = 0 × (−∞)
pr.
= lim
x→0+
ln x
1
x
=
−∞
∞
l0H.
= lim
x→0+
1
x
−
1
x2
pr.
= lim
x→0+
−x = 0
The substitution gives and indeterminate form. We have to write the
function in the limit as a fraction. To do this we write x =