2.Limity-příklady
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
ˇujeme jenom vedoucı´ cˇleny.
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Vypocˇteˇte
lim
x→∞
2 ln x − ln(x
2
+ x + 1)
.
lim
x→∞
2 ln x − ln(x
2
+ x + 1)
=
∞ − ∞
= lim
x→∞
ln x2 − ln(x
2
+ x + 1)
= lim
x→∞
ln
x
2
x2 + x + 1
= ln
lim
x→∞
x
2
x2 + x + 1
!
= ln
∞
∞
= ln
lim
x→∞
x
2
x2
!
= ln 1 = 0
Provedeme kra´cenı´ ve vy´razu
x
2
x2
a pouzˇijeme zrˇejmy´ vztah
lim
x→∞
1 = 1.
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Vypocˇteˇte
lim
x→∞
2 ln x − ln(x
2
+ x + 1)
.
lim
x→∞
2 ln x − ln(x
2
+ x + 1)
=
∞ − ∞
= lim
x→∞
ln x2 − ln(x
2
+ x + 1)
= lim
x→∞
ln
x
2
x2 + x + 1
= ln
lim
x→∞
x
2
x2 + x + 1
!
= ln
∞
∞
= ln
lim
x→∞
x
2
x2
!
= ln 1 = 0
ln 1 = 0 . Vyrˇesˇeno!
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
2
Limity na l’Hospitalovo pravidlo
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Vypocˇteˇte
lim
x→0
arcsin x
1 − ex
lim
x→0
arcsin x
1 − ex
=
0
0
l0H.
= lim
x→0
1
√
1−x2
−e
x
=
−1
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Vypocˇteˇte
lim
x→0
arcsin x
1 − ex
lim
x→0
arcsin x
1 − ex
=
0
0
l0H.
= lim
x→0
1
√
1−x2
−e
x
=
−1
Dosadı´me. Protozˇe
arcsin 0 = 0 a e
0
= 1, dosta
´ va´me neurcˇity´
vy´raz.
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Vypocˇteˇte
lim
x→0
arcsin x
1 − ex
lim
x→0
arcsin x
1 − ex
=
0
0
l0H.
= lim
x→0
1
√
1−x2
−e
x
=
−1
Pouzˇijeme l’Hospitalovo pravidlo.
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Vypocˇteˇte
lim
x→0
arcsin x
1 − ex
lim
x→0
arcsin x
1 − ex
=
0
0
l0H.
= lim
x→0
1
√
1−x2
−e
x
=
−1
Podle tohoto pravidla platı´
lim
x→0
arcsin x
1 − ex
= lim
x→0
(arcsin x)0
(1 − ex)0
,
pokud druha´ limita existuje (at’ konecˇna´ nebo nekonecˇna´).
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Vypocˇteˇte
lim
x→0
arcsin x
1 − ex
lim
x→0
arcsin x
1 − ex
=
0
0
l0H.
= lim
x→0
1
√
1−x2
−e
x
=
−1
Dosadı´me. Dosta´va´me
lim
x→0
1
√
1−0
−1
=
1
−1
=
−1
//
/
.
..
c
Robert Marˇı´k, 2008 ×
Vypocˇteˇte
lim
x→0
arcsin x