Základy vysokoškolské matematiky pro beznadějné případy - Mach

Pokud je nám výše uvedený vztah prvků nyní již jasný, můžeme na tomto místě 

prohlásit,  že  množina  uspořádaných  dvojic 

[

]

H

y

D

x

∈

∈ ;

,  pro  které  platí,  že 

jednomu  x   může  být  přiřazeno  jen  jedno  y ,  se  nazývá  funkce  jedné  reálné 
proměnné  x . Přidáme-li naše úsměvné přirovnání, pak můžeme říct, že množina všech 
manželských dvojic žena-muž, kde žena je příslušnicí islámské kultury (definiční obor) a 
muž je ženatý s takovou ženou (obor hodnot), jsou funkcí, neboť platí, že každé ženě smí 
být přiřazen jen jeden muž, zatímco rozhodně není na závadu, když jednomu muži náleží 
více žen. 
Definice: Funkce jedné reálné proměnné  x  je množina všech uspořádaných dvojic 

[ ]y

x;

takových, že ke každému  x  z definičního oboru existuje právě jedno  y  z oboru hodnot. 

       x1 
       x2 
       x3 

        y1 
        y2 

množina D 

množina H 

11

Protože se v naší oblasti matematiky počítá s předpokladem, že prvky množiny D 

i  množiny  H  jsou  čísla,  je  vlastně  zbytečné,  abychom  si  je  zakreslovali  do  oválných 
Vennových  diagramů,  neboť  mnohem  přehlednější  je  znázorňovat  je  na  číselné  osy 
(číselná osa je vlastně tradiční způsob znázorňování množiny čísel). Proto na jednu osu – 
ze zvyku na osu x – znázorňujeme množinu D neboli definiční obor, a na druhou osu – ze 
zvyku na osu y – znázorňujeme množinu H neboli obor hodnot. Pro dobrou přehlednost 
tyto osy zakreslujeme tak, že spolu svírají pravý úhel – osa x se znázorňuje horizontálou 
a  osa  y  vertikálou.  Pokud  někam  do  roviny  těchto  os  zakreslíme  bod,  jehož  x-ová 
souřadnice  bude  prvkem  množiny  D  a  y-ová  souřadnice  prvkem  množiny  H,  je  tento 
bod  vlastně  znázorněním  konkrétní  uspořádané  dvojice  x   a  y ,  neboli  je 
znázorněným  prvkem  funkce.  A  protože  funkce  je  (jak  již  víme)  množinou  všech 
uspořádaných dvojic  x  a  y   a bod je prvkem této množiny, znázorníme celou množinu 
uspořádaných  dvojic  neboli  danou  funkci  množinou  bodů,  kterou  nazýváme  graf 
funkce. Pravoúhlá soustava os x a y, která nám k zakreslování grafu poslouží, se nazývá 
kartézská soustava souřadnic2: 
 
  y 
 5 – 
 
 4 – 
 
 3 -                                            f 
 
 2 
 
 1 – 
 
            |              |       |            x 
    0      1      2       3      4       5 
 
Křivka  f   ve  výše  načrtnuté  kartézské  soustavě  souřadnic  je  grafem  funkce,  neboť 
každému  x   je  přiřazeno  právě  jedno  y .  Skutečnost,  že  jedno  y   (např.  číslo  2)  je 
přiřazeno  dvěma  různým  x   (číslům  2  a  5),  není  na  závadu.  Oproti  tomu  křivka 
v kartézské soustavě souřadnic načrtnutá níže grafem funkce není, neboť jednomu  x  je 
přiřazeno více  y  (například číslu