Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

yv´

ame vektory),

3. zobrazen´ı ⊕ : V × V → V (naz´

yv´

ame je sˇ

c´

ıt´

an´

ı vektor˚

u),

4. zobrazen´ı  : T × V → V (naz´

yv´

ame je n´

asoben´

ı vektoru ˇ

c´

ıslem z tˇ

elesa).

ˇ

Rekneme, ˇ

ze V je vektorov´

y prostor nad tˇ

elesem T s operacemi ⊕ a , pokud je splnˇ

eno

8 podm´ınek (naz´

yv´

ame je axiomy vektorov´

eho prostoru):

1. pro kaˇ

zd´

e ~a,~b ∈ V plat´ı ~a ⊕ ~b = ~b ⊕ ~a (komutativn´

ı z´

akon pro ⊕),

2

2. pro kaˇ

zd´

e ~a,~b, ~

c ∈ V plat´ı ~a ⊕ (~b ⊕ ~

c) = (~a ⊕ ~b) ⊕ ~

c (asociativn´

ı z´

akon pro ⊕),

3. existuje ~b ∈ V takov´

e, ˇ

ze pro kaˇ

zd´

e ~a ∈ V plat´ı ~a⊕~b = ~a (vektor ~b s touto vlastnost´ı naz´

yv´

ame

nulov´

y a znaˇ

c´ıme ~0),

4. pro kaˇ

zd´

e ~a ∈ V existuje ~b ∈ V takov´

e, ˇ

ze ~a ⊕ ~b = ~0 (vektor ~b s touto vlastnost´ı naz´

yv´

ame

opaˇ

cn´

y k vektoru ~a a znaˇ

c´ıme −~a),

5. pro kaˇ

zd´

e α, β ∈ T a kaˇ

zd´

e ~a ∈ V plat´ı (α · β)  ~a = α  (β  ~a) (asociativn´

ı z´

akon pro

),

6. pro kaˇ

zd´

e ~a ∈ V plat´ı 1  ~a = ~a,

7. pro kaˇ

zd´

e α, β ∈ T a kaˇ

zd´

e ~a ∈ V plat´ı (α + β)  ~a = (α  ~a) ⊕ (β  ~a) (distributivita 

vzhledem ke sˇ

c´ıt´

an´ı ˇ

c´ısel),

8. pro kaˇ

zd´

e α ∈ T a kaˇ

zd´

e ~a,~b ∈ V plat´ı α  (~a ⊕ ~b) = (α  ~a) ⊕ (α  ~b) (distributivita 

vzhledem ke sˇ

c´ıt´

an´ı vektor˚

u).

Pozn´

amka 5. Znovu zd˚

uraznˇ

eme, ˇ

ze vektorov´

y prostor je ˇ

r´

adnˇ

e definov´

an, jsou-li d´

any 4 vˇ

eci:

1. nepr´

azdn´

a mnoˇ

zina vektor˚

u V ,

2. tˇ

eleso T ,

3. operace ⊕,

4. operace .

A z´

aroveˇ

n jsou splnˇ