Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

sit, o kter´

y pˇ

r´ıpad jde.

Pozn´

amka 12. Lze ztotoˇ

znit prostor T 1 a tˇ

eleso T .

Pˇ

r´

ıklad 2. Necht’ m, n ∈ N.

1. Necht’ T je tˇ

eleso.

2. Poloˇ

zme V = T m,n, kde T m,n je mnoˇ

zina uspoˇ

r´

adan´

ych mn-tic ˇ

c´ısel z T zapsan´

ych do

tabulky o m ˇ

r´

adc´ıch a n sloupc´ıch a naz´

yvan´

ych matice typu m × n, tj.

T

m,n =

A =

a11 a12 ...

a1n

a21 a22 ...

a2n

..

.

..

.

. .

.

..

.

am1 am2 ... amn

aij ∈ T pro kaˇzd´e i ∈ ˆ

m, j ∈ ˆ

n

.

5

aij naz´

yv´

ame ij-t´

y prvek matice A (znaˇc´ıme tak´e [A]ij nebo Aij), i-t´ym ˇ

r´

adkem A nazveme

n-tici (ai1ai2 . . . ain) a j-t´

ym sloupcem A m-tici

a1j

a2j

..

.

amj

. ˇ

C´ıslu i ˇ

r´ık´

ame ˇ

r´

adkov´

y a ˇ

c´ıslu j

sloupcov´

y index prvku aij.

3. Operaci sˇ

c´ıt´

an´ı definujeme

”

po prvc´ıch“:

Pro kaˇ

zd´

e A, B ∈ T

m,n a pro kaˇzd´e i ∈ ˆ

m, j ∈ ˆ

n definujeme

[A + B]ij = [A]ij + [B]ij.

4. Operaci n´

asoben´ı vektoru ˇ

c´ıslem definujeme

”

po prvc´ıch“:

Pro kaˇ

zd´

e α ∈ T a A ∈ T

m,n a pro kaˇzd´e i ∈ ˆ

m, j ∈ ˆ

n definujeme

[αA]ij = α[A]ij.

´

Ulohu nulov´

eho vektoru hraje nulov´

a matice O =

  0 0

... 0

0 0 ... 0

..

.

..

.

. .

.

..

.

0 0 ... 0

!

.

Opaˇ

cn´

ym vektorem k A =

a11 a12 ...

a1n

a21 a22 ...

a2n

..

.

..

.

. .

.

..

.

am1 am2 ... amn

je −A =

−a11 −a12 ...

−a1n

−a21 −a22 ...

−a2n

..

.

..

.

. .

.

..

.

−am1 −am2 ... −amn

.

Sami ovˇ

eˇ

rte, ˇ

ze ˇ

ctveˇ

rice (T m,n, T, +, ·) spln´ı vˇ

sechny axiomy, tedy T m,n nad T s operacemi de-

finovan´

ymi po prvc´ıch je vektorov´

y prostor, naz´

yv´

ame jej prostorem matic (o m ˇ

r´

adc´ıch a n

sloupc´ıch).

Pozn´

amka 13. Znaˇ

cen´ı T m,n pouˇ

z´ıv´

ame pro mnoˇ

zinu matic o m ˇ