Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

3. aij = 0 pro i > `, j ∈ [

n + 1.

Matice v horn´ım stupˇ

novit´

em tvaru m´

a tedy tyto vlastnosti: V prvn´ım ˇ

r´

adku je prvn´ı nenulov´

y

prvek ve sloupci k1, ve druh´em ˇr´

adku ve sloupci k2, aˇz v `-t´em ˇr´

adku ve sloupci k`. Od (` + 1)-n´ıho

ˇ

r´

adku poˇ

c´ınaje jsou vˇ

sechny ˇ

r´

adky nulov´

e.

Soustava s rozˇ

s´ıˇ

renou matic´ı v horn´ım stupˇ

novit´

em tvaru m´

a tedy tvar:

a1k

1 xk1

+

. . .

+

a1k

2 xk2

+

. . .

+

a1k

` xk`

+

. . .

+

a1nxn

=

a1(n+1)

a2k

2 xk2

+

. . .

+

a2k

` xk`

+

. . .

+

a1nxn

=

a2(n+1)

. .

.

..

.

..

.

..

.

..

.

a`k

` xk`

+

. . .

+

a`nxn

=

a`(n+1)

.

Sloupce rozˇ

s´ıˇ

ren´

e matice soustavy s indexy k1, k2, . . . , k` naz´

yv´

ame hlavn´

ı sloupce, ostatn´ı

sloupce naz´

yv´

ame vedlejˇ

s´

ı.

Z posledn´ı soustavy snadno vyˇ

cteme odpovˇ

ed’ na ˇ

reˇ

sen´

e probl´

emy.

1. Soustava je ˇ

reˇ

siteln´

a, pr´

avˇ

e kdyˇ

z sloupec prav´

ych stran je vedlejˇ

s´

ı.

Je zˇ

rejm´

e, ˇ

ze kdyˇ

z je sloupec prav´

ych stran hlavn´ı, tj. kl = n + 1, m´

a posledn´ı rovnice tvar

0 = al(n+1), tedy nula m´a b´

yt rovna nenulov´

emu ˇ

c´ıslu, coˇ

z nen´ı moˇ

zn´

e. To, ˇ

ze soustava

ˇ

reˇ

siteln´

a je, kdyˇ

z je sloupec prav´

ych stran vedlejˇ

s´ı, vyplyne z n´

asleduj´ıc´ıho tvrzen´ı.

9

2. Je-li sloupec prav´

ych stran vedlejˇ

s´ı, ˇ

reˇ

sen´

ı soustavy nalezneme tak, ˇ

ze nezn´

am´

e od-

pov´

ıdaj´

ıc´

ı vedlejˇ

s´

ım sloupc˚

um zvol´

ıme libovolnˇ

e a zbyl´

e nezn´

am´

e jednoznaˇ

cnˇ

e

dopoˇ

c´

ıt´

ame.

Je jasnˇ

e vidˇ

et, ˇ

ze pokud jsou nezn´

am´

e odpov´ıdaj´ıc´ı vedlejˇ

s´ım sloupc˚

um zvoleny, dopoˇ

c´ıt´

ame

z posledn´ı rovnice xk

` , po dosazen´

ı do pˇ

redposledn´ı rovnice dopoˇ

c´ıt´

ame xk

`−1 atd.

Pozn´

amka 20. Nen´ı tˇ

eˇ

zk´

e ovˇ

eˇ

rit, ˇ

ze plat´ı n´

asleduj´ıc´ı tvrzen´ı. Soustava m´