Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
”
LO nez´
avis´ı na poˇ
rad´ı gener´
ator˚
u“.
3. Pokud ~
xn+1 ∈ [~x1, ~x2, . . . , ~xn]λ, pak plat´ı [~x1, ~x2, . . . , ~xn]λ = [~x1, ~x2, . . . , ~xn, ~xn+1]λ.
Slovy:
”
gener´
ator, kter´
y je LK ostatn´ıch gener´
ator˚
u, lze z LO vyhodit a tak´
e do LO pˇ
rihodit,
aniˇ
z by se LO zmˇ
enil“.
4. Je-li ~
x, ~
y ∈ [~
x1, ~x2, . . . , ~xn]λ, potom ~x + ~
y ∈ [~
x1, ~x2, . . . , ~xn]λ.
Slovy:
”
LO je uzavˇ
ren´
y na sˇ
c´ıt´
an´ı vektor˚
u“.
5. Je-li α ∈ T a ~
x ∈ [~
x1, ~x2, . . . , ~xn]λ, potom α~x ∈ [~x1, ~x2, . . . , ~xn]λ.
Slovy:
”
LO je uzavˇ
ren´
y na n´
asoben´ı vektoru ˇ
c´ıslem z T“.
6. [~
x1, ~x2, . . . , ~xn]λ tvoˇr´ı vektorov´
y prostor nad tˇ
elesem T pˇ
ri zachov´
an´ı operac´ı z V .
D˚
ukaz.
1. Vypl´
yv´
a z rovnosti ~0 =
Pn
i=1 0~
xi.
2. Tvrzen´ı plyne z rovnosti
n
X
i=1
αi~xi =
n
X
i=1
αk
i ~
xk
i ,
kter´
a je d˚
usledkem zobecnˇ
en´
eho komutativn´ıho z´
akona.
3. Rovnost dvou mnoˇ
zin se v matematice obvykle dokazuje tak, ˇ
ze se dok´
aˇ
z´ı dvˇ
e inkluze.
Budeme postupovat tak´
e tak.
(a) Dok´
aˇ
zeme nejprve, ˇ
ze [~
x1, ~x2, . . . , ~xn]λ ⊂ [~x1, ~x2, . . . , ~xn, ~xn+1]λ, tj. pro libovoln´
y vektor
~
x ∈ [~
x1, ~x2, . . . , ~xn]λ uk´
aˇ
zeme, ˇ
ze ~
x ∈ [~
x1, ~x2, . . . , ~xn, ~xn+1]λ. Necht’ ~x ∈ [~x1, ~x2, . . . , ~xn]λ,
pak podle definice LO existuj´ı ˇ
c´ısla α1, . . . , αn ∈ T takov´
a, ˇ
ze ~
x =
Pn
i=1 αi~
xi. Potom
ale tak´
e plat´ı, ˇ
ze ~
x =
Pn
i=1 αi~
xi + 0~xn+1, a to opˇet podle definice LO znamen´
a, ˇ
ze
~
x ∈ [~
x1, ~x2, . . . , ~xn, ~xn+1]λ.
12
(b) Zb´
yv´
a dok´