Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

zd´

y vektor z R

2

lze ps´

at jako LK (~

x, ~

y), pouˇ

zijte vizualizaci R

2 pomoc´ı ˇsipek.

Obr´

azek 2: Uk´

azka, jak r˚

uzn´

e vektory z R

2 (vyznaˇceny modˇre) z´ısk´av´ame jako LK (~x, ~y) (vy-

znaˇ

ceny ˇ

cervenˇ

e).

3.1

Line´

arn´ı z´

avislost a nez´

avislost

Definice 8. Necht’ (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je soubor vektor˚

u z vektorov´

eho prostoru V nad tˇ

elesem T .

ˇ

Rekneme, ˇ

ze soubor je

1. line´

arnˇ

e nez´

avisl´

y (LN), pokud

(∀α1, . . . , αn ∈ T )

(

n

X

i=1

αi~xi = ~0) ⇒ (∀i ∈ ˆ

n)(αi = 0)

!

,

slovy:

”

jedinˇ

e trivi´

aln´ı LK kombinace souboru d´

av´

a nulov´

y vektor“,

2. line´

arnˇ

e z´

avisl´

y (LZ) v opaˇ

cn´

em pˇ

r´ıpadˇ

e, tj. pokud plat´ı negace pˇ

redchoz´ıho v´

yroku

(∃α1, . . . , αn ∈ T )

(

n

X

i=1

αi~xi = ~0) ∧ (∃i ∈ ˆ

n)(αi 6= 0)

!

,

slovy:

”

existuje netrivi´

aln´ı LK souboru rovn´

a nulov´

emu vektoru“.

Vˇ

eta 4 (Vlastnosti LN a LZ soubor˚

u). Necht’ V je vektorov´

y prostor nad tˇ

elesem T a ~

x1, ~x2, . . . , ~xn

jsou vektory z V . Pak plat´ı:

1. (~

x1) je LZ ⇔ ~x1 = ~0.

2. Pokud soubor (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) obsahuje ~0, pak je LZ.

3. (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je LZ ⇔ (~xk

1 , ~

xk

2 , . . . , ~

xk

n ) je LZ, kde (k1 , . . . , kn ) je libovoln´

a permutace ˆ

n.

Slovy:

”

LZ souboru nez´

avis´ı na poˇ

rad´ı vektor˚

u v souboru“.

4. Pokud (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je LN, pak pro kaˇzd´e k ∈ ˆ

n plat´ı (~

x1, ~x2, . . . , ~xk) je LN.

Slovy:

”

vyhod´ıme-li z LN souboru vektory, z˚

ustane LN“.

14

5. Je-li (~

x1, ~x2, . . . , ~xk) LZ pro nˇejak´e k ∈ ˆ

n, pak (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je LZ.