Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
y prostor, pak jsme v souladu
s novou definic´ı.
Definice 10. Necht’ n ∈ N. Necht’ V je vektorov´y prostor nad tˇelesem T a (~x1, ~x2, . . . , ~xn) splˇ
nuje
2 podm´ınky
1. (~
x1, ~x2, . . . , ~xn) je LN,
2. (~
x1, ~x2, . . . , ~xn) generuje V .
Pak (~
x1, ~x2, . . . , ~xn) nazveme b´
az´
ı V .
Pozn´
amka 27. V = {~0} b´
azi nem´
a, protoˇ
ze v nˇ
em neexistuje LN soubor.
Pˇ
r´
ıklad 10. Rozhodnˇ
ete o LN ˇ
ci LZ souboru (~
x1, ~x2, ~x3, ~x4) z R
4.
1.
~
x1 =
1
1
0
0
, ~
x2 =
0
0
1
1
, ~
x3 =
0
1
0
1
, ~
x4 =
1
0
1
1
.
ˇ
Reˇ
sen´
ı: Zjiˇ
st’ujeme, zda rovnice α1~x1 + α2~x2 + α3~x3 + α4~x4 = ~0 m´
a jen trivi´
aln´ı ˇ
reˇ
sen´ı
α1 = α2 = α3 = α4 = 0 (pak je soubor podle definice LN) nebo zda existuje netrivi´
aln´ı
ˇ
reˇ
sen´ı, tedy alespoˇ
n jedno z α1, α2, α3, α4 6= 0 (pak je soubor podle definice LZ). Dost´
av´
ame
soustavu
1α1 + 0α2 + 0α3 + 1α4
=
0
1α1 + 0α2 + 1α3 + 0α4
=
0
0α1 + 1α2 + 0α3 + 1α4
=
0
0α1 + 1α2 + 1α3 + 1α4
=
0
.
V maticov´
em z´
apisu m´
ame homogenn´ı soustavu s matic´ı
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
.
16
Uprav´ıme ji ekvivalentn´ımi ˇ
r´
adkov´
ymi ´
upravami do horn´ıho stupˇ
novit´
eho tvaru
1
0
0
1
0
0
1
−1
0
1
0
1
0
1
1
1
∼
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
−1
∼
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
−1
∼
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
−1
.
Vid´ıme, ˇ
ze matice v horn´ım stupˇ
novit´
em tvaru m´
a sam´
e hlavn´ı sloupce. Z kapitoly Z´
akladn´ı
informace o ˇ
reˇ
sen´ı soustav line´
arn´ıch algebraick´
ych rovnic pak v´ıme, ˇ
ze v takov´
em pˇ
r´ıpadˇ
e
existuje jen trivi´
aln´ı ˇ
reˇ
sen´ı α1 = α2 = α3 = α4 = 0. To jest, dok´
azali jsme, ˇ
ze soubor
(~
x1, ~x2, ~x3, ~x4) je LN.
2.
~
x1 =
1
1
0
0
, ~
x2 =
0
0
1
1
, ~
x3 =
1
−1
1
0
, ~
x4 =