Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
0
2
0
1
.
ˇ
Reˇ
sen´
ı: Zjiˇ
st’ujeme, zda rovnice α1~x1 + α2~x2 + α3~x3 + α4~x4 = ~0 m´
a jen trivi´
aln´ı ˇ
reˇ
sen´ı
α1 = α2 = α3 = α4 = 0 (pak je soubor podle definice LN) nebo zda existuje netrivi´
aln´ı
ˇ
reˇ
sen´ı, tedy alespoˇ
n jedno z α1, α2, α3, α4 6= 0 (pak je soubor podle definice LZ). Dost´
av´
ame
soustavu
1α1 + 0α2 + 1α3 + 0α4
=
0
1α1 + 0α2 − 1α3 + 2α4
=
0
0α1 + 1α2 + 1α3 + 0α4
=
0
0α1 + 1α2 + 0α3 + 1α4
=
0
.
V maticov´
em z´
apisu m´
ame homogenn´ı soustavu s matic´ı
1
0
1
0
1
0
−1
2
0
1
1
0
0
1
0
1
.
Uprav´ıme ji ekvivalentn´ımi ˇ
r´
adkov´
ymi ´
upravami do horn´ıho stupˇ
novit´
eho tvaru
1
0
1
0
0
0
−2
2
0
1
1
0
0
1
0
1
∼
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
−2
2
∼
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
−1
1
0
0
−2
2
∼
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
−1
1
0
0
0
0
.
Vid´ıme, ˇ
ze matice v horn´ım stupˇ
novit´
em tvaru m´
a posledn´ı sloupec vedlejˇ
s´ı. Z kapitoly
Z´
akladn´ı informace o ˇ
reˇ
sen´ı soustav line´
arn´ıch algebraick´
ych rovnic pak v´ıme, ˇ
ze netrivi´
aln´ı
ˇ
reˇ
sen´ı z´ısk´
ame, kdyˇ
z za nezn´
amou odpov´ıdaj´ıc´ı vedlejˇ
s´ımu sloupci zvol´ıme nenulov´
e ˇ
c´ıslo,
napˇ
r´ıklad α4 = 1, a ostatn´ı nezn´
am´
e dopoˇ
c´ıt´
ame. Dost´
av´
ame α3 = 1, α2 = −1, α1 = −1.
To jest, zjistili jsme, ˇ
ze (−1)~
x1 + (−1)~x2 + ~x3 + ~x4 = ~0. Tedy m´
ame netrivi´
aln´ı LK souboru
(~
x1, ~x2, ~x3, ~x4) rovnou ~0, coˇz znamen´
a, ˇ
ze soubor je LZ. Ze vztahu (−1)~
x1+(−1)~x2+~x3+~x4 =
~0 d´ale vid´ıme, ˇze ~x
4 = ~
x1 + ~x2 − ~x3, tedy podle 3. vlastnosti LO m´
ame [~
x1, ~x2, ~x3, ~x4]λ =
[~
x1, ~x2, ~x3]λ. Oznaˇcme V = [~x1, ~x2, ~x3, ~x4]λ (z teorie v´ıme, ˇze jde o vektorov´
y prostor). Jelikoˇ
z
z matice soustavy v´
yˇ
se uveden´
e, vyˇ
skrtneme-li posledn´ı sloupec, vid´ıme, ˇ