Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

Slovy:

”

pˇ

rid´

ame-li do LZ souboru vektory, z˚

ustane LZ“.

6.

”

Alternativn´ı definice LZ“

Necht’ n ≥ 2. (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je LZ ⇔ (∃i0 ∈ ˆ

n)(~

xi

0 ∈ [~

x1, . . . , ~xi

0 −1 , ~

xi

0 +1 . . . , ~

xn]λ).

Slovy:

”

v alespoˇ

n 2-prvkov´

em LZ souboru existuje vektor, kter´

y je LK ostatn´ıch“.

7.

”

Alternativn´ı definice LZ“

(~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je LZ ⇔ ~x1 = ~0 nebo (∃i0 ∈ {2, . . . , n})(~xi

0 ∈ [~

x1, . . . , ~xi

0 −1 ]λ ).

Slovy:

”

v LZ souboru je prvn´ı vektor nulov´

y nebo existuje vektor, kter´

y je LK pˇ

redchoz´ıch“.

D˚

ukaz.

1. Ukazujeme ekvivalenci, tedy dvˇ

e implikace.

(⇒) : Pˇ

redpokl´

ad´

ame, ˇ

ze (~

x1) je LZ. Podle definice existuje α ∈ T, α 6= 0, takov´e, ˇze α~x1 = ~0.

Podle Vˇ

ety 1 pak m´

ame ~

x1 = ~0.

(⇐) : Pˇ

redpokl´

ad´

ame, ˇ

ze ~

x1 = ~0. Potom 1~x1 = ~0, coˇz je netrivi´

aln´ı LK (~

x1) rovn´

a ~0, proto

podle definice je (~

x1) LZ.

2. Necht’ ~

xi = ~0 pro nˇejak´e i ∈ ˆ

n, pak tvrzen´ı plyne z rovnosti

~0 = 0~x

1 + · · · + 1~

xi + · · · + 0~xn,

tedy z faktu, ˇ

ze ~0 dostaneme jako netrivi´

aln´ı LK souboru (~

x1, ~x2, . . . , ~xn), kde v LK jsou

vˇ

sechny koeficienty kromˇ

e i-t´

eho rovny 0 a i-t´

y klademe roven 1, a tedy soubor je LZ.

3. Tvrzen´ı plyne z rovnosti

n

X

i=1

αi~xi =

n

X

i=1

αk

i ~

xk

i ,

kter´

a je d˚

usledkem zobecnˇ

en´

eho komutativn´ıho z´

akona. Jakmile je na jedn´

e stranˇ

e netrivi´

aln´ı

LK d´

avaj´ıc´ı ~0, pak i na druh´

e stranˇ

e je netrivi´

aln´ı LK d´

avaj´ıc´ı ~0.

4. Dokaˇ

zme tvrzen´ı sporem. Necht’ (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je LN a z´

aroveˇ

n (~

x1, ~x2, . . . , ~xk) je LZ pro