Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

azat, ˇ

ze [~

x1, ~x2, . . . , ~xn, ~xn+1]λ ⊂ [~x1, ~x2, . . . , ~xn]λ, tj. pro libovoln´

y vektor ~

x ∈

[~

x1, ~x2, . . . , ~xn, ~xn+1]λ uk´

aˇ

zeme, ˇ

ze ~

x ∈ [~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ. Necht’ ~x ∈ [~x1, ~x2, . . . , ~xn+1]λ,

pak podle definice LO existuj´ı ˇ

c´ısla α1, . . . , αn+1 ∈ T takov´

a, ˇ

ze ~

x =

Pn+1

i=1 αi~

xi.

Upravme rovnost n´

asledovnˇ

e

~

x =

n

X

i=1

αi~xi + αn+1~xn+1.

(2)

Teprve nyn´ı vyuˇ

zijeme pˇ

redpoklad, ˇ

ze ~

xn+1 ∈ [~x1, ~x2, . . . , ~xn]λ. To podle definice LO

znamen´

a, ˇ

ze existuj´ı ˇ

c´ısla β1, . . . , βn ∈ T takov´

a, ˇ

ze ~

xn+1 =

Pn

i=1 βi~

xi. Odtud uprav´ıme

rovnost (2) n´

asledovnˇ

e

~

x =

n

X

i=1

αi~xi + αn+1

n

X

i=1

βi~xi =

n

X

i=1

(αi + αn+1βi)~xi.

V posledn´ı ´

upravˇ

e jsme vyuˇ

zili Vˇ

etu 2 o vlastnostech souˇ

ctu souboru a axiomy vekto-

rov´

eho prostoru. Podle definice LO vid´ıme, ˇ

ze ~

x ∈ [~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ.

4. Je-li ~

x, ~

y ∈ [~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ, pak existuj´ı ˇc´ısla α1, . . . , αn ∈ T a β1, . . . , βn ∈ T takov´

a, ˇ

ze

~

x =

n

X

i=1

αi~xi

a

~

y =

n

X

i=1

βi~xi.

Odtud dost´

av´

ame d´ıky Vˇ

etˇ

e 2 o vlastnostech souˇ

ctu souboru a axiom˚

um vektorov´

eho pro-

storu, ˇ

ze

~

x + ~

y =

n

X

i=1

(αi + βi)~xi,

coˇ

z podle definice LO znamen´

a, ˇ

ze ~

x + ~

y ∈ [~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ.

5. Je-li α ∈ T a ~

x ∈ [~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ, pak existuj´ı ˇc´ısla α1, . . . , αn ∈ T takov´

a, ˇ

ze

~

x =

n

X

i=1

αi~xi.

Pak plat´ı d´ıky Vˇ

etˇ

e 2 o vlastnostech souˇ

ctu souboru a axiom˚

um vektorov´

eho prostoru, ˇ

ze

α~

x =

n

X

i=1

(ααi)~xi,

coˇ

z podle definice LO znamen´