Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
e prvky.
Pˇ
r´
ıklad 6. Zjistˇ
ete, zda je n´
asleduj´ıc´ı soustava ˇ
reˇ
siteln´
a. Pokud ano, najdˇ
ete jedno ˇ
reˇ
sen´ı.
x1
+
3x2
−
2x4
=
1
−4x1
−
2x2
+
5x3
−
9x4
=
0
x1
+
3x2
+
x4
=
0
.
ˇ
Reˇ
sen´
ı: Odpov´ıdaj´ıc´ı rozˇ
s´ıˇ
renou matici soustavy uprav´ıme do horn´ıho stupˇ
novit´
eho tvaru:
1
3
0
−2
1
−4
−2
5
−9
0
1
3
0
1
0
∼
1
3
0
−2
1
0
10
5
−17
4
0
0
0
3
−1
.
Soustava je ˇ
reˇ
siteln´
a, protoˇ
ze sloupec prav´
ych stran je vedlejˇ
s´ı. ˇ
Reˇ
sen´ı najdeme volbou nezn´
am´
e v
jedin´
em vedlejˇ
s´ım sloupci, kter´
ym je tˇ
ret´ı sloupec. Zvol´ıme tˇ
reba x3 = 0. Zbyl´e nezn´
am´
e dopoˇ
c´ıt´
ame
ze soustavy odpov´ıdaj´ıc´ı matici v horn´ım stupˇ
novit´
em tvaru
x1
+
3x2
−
2x4
=
1
10x2
+
5x3
−
17x4
=
4
3x4
=
−1
.
Dost´
av´
ame x4 = −1/3, x2 = −1/6, x1 = 5/6. ˇ
Reˇ
sen´ım je tedy napˇ
r. ~
x =
1
6
5
−1
0
−2
.
10
3
Line´
arn´ı z´
avislost a nez´
avislost, b´
aze a dimenze, souˇ
radnice
Definice 5. Necht’ V je vektorov´
y prostor nad tˇ
elesem T . Necht’ n ∈ N a ~x1, ~x2, . . . , ~xn jsou vek-
tory z V . Uspoˇ
r´
adanou n-tici (~
x1, ~x2, . . . , ~xn) nazveme n-ˇclenn´
ym souborem. Souˇ
cet souboru
(~
x1, ~x2, . . . , ~xn) znaˇc´ıme
Pn
i=1 ~
xi a definujeme
n
X
i=1
~
xi =
((~
x1 + ~x2) + ~x3) + ~x4
+ · · · + ~xn
.
Pozn´
amka 21.
Ujasnˇ
ete si ˇ
r´
adnˇ
e rozd´ıl mezi pojmy soubor vektor˚
u (~
x1, ~x2, . . . , ~xn), coˇz je uspoˇr´
adan´
a n-tice vek-
tor˚
u (ˇ
cleny souboru se mohou opakovat a z´
aleˇ
z´ı na jejich poˇ
rad´ı), a mnoˇ
zina vektor˚
u {~
x1, ~x2, . . . , ~xn},
kde se prvky neopakuj´ı a nez´
aleˇ
z´ı na jejich poˇ
rad´ı.
Pˇ
r´
ıklad 7. Uvaˇ
zujme prostor R
2, pak
1. (
1
−1
,
1
−1
,
1
1
) 6= (
1
−1
,
1
1
) 6= (
1
1
,
1
−1
).
2.
1
−1
,
1
−1
,
1
1
=
1
−1
,
1
1
=
1
1
,
1
−1
.
Pozn´
amka 22. Necht’ V je vektorov´
y prostor nad tˇ