Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

torov´

y prostor nad C.

6

Pozn´

amka 16. Snadno si rozmysl´ıme, ˇ

ze bez pˇ

rid´

an´ı nulov´

eho polynomu nen´ı Pn definovan´

y v´

yˇ

se

vektorov´

ym prostorem.

Pˇ

r´

ıklad 5. Pro modelov´

an´ı prostor˚

u R

2 a R3 budeme pouˇz´ıvat orientovan´e ˇsipky. Vysvˇetleme

vizualizaci R

2. V R3 postupujeme analogicky.

1. Tˇ

elesem jsou re´

aln´

a ˇ

c´ısla.

2. Vektoru (

α1

α2 ) odpov´

ıd´

a ˇ

sipka zaˇ

c´ınaj´ıc´ı v poˇ

c´

atku ( 0

0 ) a konˇ

c´ıc´ı v bodˇ

e (

α1

α2 ), takov´

e ˇ

sipce se

nˇ

ekdy ˇ

r´ık´

a pr˚

uvodiˇ

c bodu (

α1

α2 ).

3. Souˇ

cet ~a + ~b se z´ısk´

a, kdyˇ

z do koncov´

eho bodu ˇ

sipky odpov´ıdaj´ıc´ı ~a um´ıst´ıme poˇ

c´

atek ˇ

sipky

rovnobˇ

eˇ

zn´

e a stejnˇ

e velk´

e jako ˇ

sipka odpov´ıdaj´ıc´ı ~b. Snadno si rozmysl´ıme, ˇ

ze takov´

e sˇ

c´ıt´

an´ı

odpov´ıd´

a sˇ

c´ıt´

an´ı vektor˚

u po sloˇ

zk´

ach, jak jsme je zavedli ve vektorov´

em prostoru R

2. T´ım

z´ısk´

ame koncov´

y bod ˇ

sipky odpov´ıdaj´ıc´ı ~a + ~b.

4. α~a z´ısk´

ame tak, ˇ

ze velikost ˇ

sipky odpov´ıdaj´ıc´ı ~a vyn´

asob´ıme |α|. Pot´

e ji um´ıst´ıme do poˇ

c´

atku

a orientaci nezmˇ

en´ıme, pokud α ≥ 0, nebo zmˇ

en´ıme na opaˇ

cnou, pokud α < 0.

Snadno ovˇ

eˇ

r´ıme, ˇ

ze plat´ı axiomy. Komutativn´ı z´

akon ilustruje 1. a 2. bod obr´

azku 1.

Obr´

azek 1: 1. Souˇ

cet vektor˚

u ~a +~b, kde ~a reprezentuje ˇ

cerven´

a, ~b modr´

a ˇ

sipka a ~a +~b ˇ

cern´

a ˇ

sipka.

2. Souˇ

cet vektor˚

u ~b + ~a, kde ~a reprezentuje ˇ

cerven´

a, ~b modr´

a ˇ

sipka a ~b + ~a ˇ

cern´

a ˇ

sipka. 3. 2~a, kde

~a reprezentuje ˇ

cerven´

a a 2~a modr´

a ˇ

sipka. 4. −

1
2~

a, kde ~a reprezentuje ˇ

cerven´

a a −

1
2~

a modr´

a ˇ

sipka.

Pozn´

amka 17. Rozmyslete si, ˇ

ze plat´ı tvrzen´ı:

Necht’ V je vektorov´

y prostor nad T a necht’ T1 je tˇeleso splˇ