Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

x} tvoˇ

r´ı

vektorov´

y prostor nad tˇ

elesem T . Vektor ~

x ve V hraje ´

ulohu nulov´

eho vektoru, proto m˚

uˇ

zeme ps´

at

V = {~0} a tento prostor naz´

yv´

ame nulov´

y vektorov´

y prostor.

M˚

uˇ

ze m´ıt nenulov´

y vektorov´

y prostor koneˇ

cn´

y poˇ

cet vektor˚

u? Nem˚

uˇ

ze. Existuje-li ve V ~

x 6= ~0,

pak tak´

e 2~

x, 3~

x, 4~

x, . . . patˇ

r´ı do V . Tyto vektory jsou vz´

ajemnˇ

e r˚

uzn´

e, protoˇ

ze pro m 6= n plat´ı

podle Vˇ

ety 1 m~

x − n~

x = (m − n)~

x 6= ~0.

1.1

Pˇ

r´ıklady vektorov´

ych prostor˚

u

Pˇ

r´

ıklad 1. Necht’ n ∈ N.

1. Necht’ T je tˇ

eleso.

2. Poloˇ

zme V = T n, kde T n je mnoˇ

zina uspoˇ

r´

adan´

ych n-tic ˇ

c´ısel z tˇ

elesa zapsan´

ych do sloupc˚

u,

tj. T n =

~a =

α1

α2

..

.

αn

αi ∈ T pro kaˇzd´e i ∈ ˆ

n

, kde ˆ

n = {1, 2, . . . , n}. ˇ

C´ıslo αi naz´

yv´

ame

i-tou sloˇ

zkou vektoru ~a.

3. Operaci sˇ

c´ıt´

an´ı definujeme

”

po sloˇ

zk´

ach“:

Pro kaˇ

zd´

e ~a =

α1

α2

..

.

αn

∈ T n a ~b =

β1
β2

..

.

βn

∈ T n definujeme ~a + ~b =

α1+β1
α2+β2

..

.

αn+βn

.

4. Operaci n´

asoben´ı vektoru ˇ

c´ıslem definujeme

”

po sloˇ

zk´

ach“:

Pro kaˇ

zd´

e α ∈ T a kaˇ

zd´

e ~a =

α1

α2

..

.

αn

∈ T n definujeme α~a =

αα1

αα2

..

.

ααn

.

´

Ulohu nulov´

eho vektoru hraje vektor

  0

0

..

.

0

!

.

Opaˇ

cn´

ym vektorem k ~a =

α1

α2

..

.

αn

je vektor

−α1

−α2

..

.

−αn

.

Sami ovˇ

eˇ

rte, ˇ

ze tato ˇ

ctveˇ

rice (T n, T, +, ·) spln´ı vˇ

sechny axiomy, tedy T n nad T s operacemi defi-

novan´

ymi po sloˇ

zk´

ach je vektorov´

y prostor.

Pozn´

amka 11. Znaˇ

cen´ı T n pouˇ

z´ıv´

ame jak pro mnoˇ

zinu uspoˇ

r´

adan´

ych n-tic ˇ

c´ısel z tˇ

elesa, tak pro

vektorov´

y prostor T n, tedy ˇ

ctveˇ

rici (T n, T, +, ·). Je tˇ

reba podle kontextu odliˇ