Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

6. Pro kaˇ

zd´

e α ∈ T a kaˇ

zd´

e ~a ∈ V plat´ı −(α~a) = (−α)~a = α(−~a).

3

D˚

ukaz.

1. Podle 3. axiomu obsahuje V nulov´

y vektor ~0. Pokud ~

z ∈ V tak´

e splˇ

nuje vlastnosti

nulov´

eho vektoru, pak

~

z = ~

z + ~0 = ~0 + ~

z = ~0,

kde jsme vyuˇ

zili vlastnosti nulov´

eho vektoru a komutativn´ı z´

akon.

2. Necht’ ~a je libovoln´

y vektor z V . Podle 4. axiomu k nˇ

emu existuje opaˇ

cn´

y vektor −~a. Pokud

~b ∈ V splˇnuje tak´e vlastnosti opaˇcn´eho vektoru k ~a, pak

~b = ~b + ~0 = ~b + (~a + (−~a)) = (~b + ~a) + (−~a) = (~a +~b) + (−~a) = ~0 + (−~a) = (−~a) + ~0 = −~a,

kde jsme vyuˇ

zili komutativitu, asociativitu, vlastnosti nulov´

eho a opaˇ

cn´

eho vektoru.

3. Nejprve se pˇ

resvˇ

edˇ

c´ıme, ˇ

ze −~a+~b je ˇ

reˇ

sen´ım, tj. ~a+(−~a+~b) = (~a+(−~a))+~b = ~0+~b = ~b+~0 = ~b.

Necht’ ~

y ∈ V je tak´

e ˇ

reˇ

sen´ım, pak

~

x = −~a + ~b = −~a + (~a + ~

y) = (−~a + ~a) + ~

y = (~a + (−~a)) + ~

y = ~0 + ~

y = ~

y + ~0 = ~

y,

kde jsme vyuˇ

zili komutativitu, asociativitu, vlastnosti nulov´

eho a opaˇ

cn´

eho vektoru.

4. Z pˇ

redchoz´ıho bodu v´ıme, ˇ

ze pro kaˇ

zd´

e α ∈ T a kaˇ

zd´

e ~a ∈ V m´

a rovnice α~a + ~

x = α~a jedin´

e

ˇ

reˇ

sen´ı, a to ~

x = ~0. Ovˇ

eˇ

rme, ˇ

ze tak´

e α~0 a 0~a jsou ˇ

reˇ

sen´ım, pak je jasn´

e, ˇ

ze jsou rovny ~0.

α~a + α~0 = α(~a + ~0) = α~a.

α~a + 0~a = (α + 0)~a = α~a.

Vyuˇ

zili jsme distributivity  v˚

uˇ

ci sˇ

c´ıt´

an´ı vektor˚

u a v˚

uˇ

ci sˇ

c´ıt´

an´ı ˇ

c´ısel.

5. Jde o d˚

ukaz v´

yroku

(∀α ∈ T )(∀~a ∈ V )(α~a = ~0 ⇒ (~a = ~0 ∨ α = 0)).