Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
nuj´ıc´ı T1 ⊂ T . Pak V je pˇri zachov´
an´ı
stejn´
ych operac´ı tak´
e vektorov´
ym prostorem nad T1. Napˇr´ıklad C
n tvoˇr´ı vektorov´y prostor nad R,
pokud jsou operace definov´
any po sloˇ
zk´
ach. Pozor! Jde o jin´
y vektorov´
y prostor neˇ
z C
n nad C.
Pozor!! Naopak to neplat´ı, napˇ
r´ıklad R
n pˇri operac´ıch definovan´ych po sloˇzk´ach netvoˇr´ı vektorov´y
prostor nad C.
7
2
Z´
akladn´ı informace o ˇ
reˇ
sen´ı soustav line´
arn´ıch algebraick´
ych
rovnic
Soustavou m line´
arn´ıch algebraick´
ych rovnic (LAR) pro n nezn´
am´
ych nazveme kaˇ
zdou soustavu
tvaru
a11x1
+
a12x2
+
. . .
+
a1nxn
=
b1
a21x1
+
a22x2
+
. . .
+
a2nxn
=
b2
..
.
..
.
. .
.
..
.
=
..
.
am1x1
+
am2x2
+
. . .
+
amnxn
=
bm
,
kde ˇ
c´ısla aij a bi pro i ∈
b
m a j ∈
b
n jsou obecnˇ
e komplexn´ı.
N´
azvoslov´
ı:
• Matice
A =
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
..
.
..
.
. .
.
..
.
am1 am2 ... amn
se naz´
yv´
a matic´
ı soustavy.
• Matice
(A|~b) =
a11 a12 ... a1n b1
a21 a22 ... a2n b2
..
.
..
.
. .
.
..
.
am1 am2 ... amn bm
se naz´
yv´
a rozˇ
s´
ıˇ
renou matic´
ı soustavy.
• Vektor ~b =
b1
b2
..
.
bm
∈ C
m se naz´yv´a sloupec prav´
ych stran.
• Vektor ~
x =
x1
x2
..
.
xn
∈ C
n, pro nˇejˇz je soustava splnˇena, se naz´yv´a ˇ
reˇ
sen´
ım soustavy.
• ˇ
R´ık´
ame, ˇ
ze soustava je homogenn´
ı nebo bez prav´
e strany, pokud ~b = ~0.
• V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe jde o soustavu s pravou stranou.
Pozn´
amka 18. D˚
uleˇ
zit´
e je si uvˇ
edomit, ˇ
ze existuj´ı soustavy, jeˇ
z ˇ
reˇ
sen´ı nemaj´ı. Napˇ
r´ıklad
3x1
+
2x2
=
5
3x1
+
2x2
=
7
.
A naopak existuj´ı soustavy, kter´
e maj´ı ˇ
reˇ
sen´ı v´ıce. Napˇ
r´ıklad
3x1
+
2x2
=
5
6x1
+
4x2
=
10
m´
a ˇ
reˇ
sen´ı
1
1
a tak´
e
−1
4
. Dokonce m´
a nekoneˇ
cnˇ
e mnoho ˇ
reˇ
sen´ı.
Pozn´
amka 19. Homogenn´ı soustava m´
a vˇ
zdy alespoˇ
n jedno ˇ
reˇ
sen´ı, a to ˇ
reˇ
sen´ı ~0 =