Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

(1)

Dok´

aˇ

zeme v´

yrok sporem, pˇ

redpokl´

adejme tedy platnost negace

(∃α ∈ T )(∃~a ∈ V )e(α~a = ~0 ⇒ (~a = ~0 ∨ α = 0)).

Z tohotu pˇ

redpokladu odvod´ıme spor - platnost nepravdiv´

eho tvrzen´ı, coˇ

z znamen´

a, ˇ

ze platil

p˚

uvodn´ı v´

yrok (1). V´ıme, ˇ

ze A∧eB je ekvivalentn´ı s negac´ı implikace A ⇒ B. M˚

uˇ

zeme tedy

pˇ

redpoklad pˇ

repsat jako

(∃α ∈ T )(∃~a ∈ V )(α~a = ~0 ∧ ~a 6= ~0 ∧ α 6= 0).

Pak plat´ı

~a = 1~a = (

1

α α)~

a =

1

α (α~

a) =

1

α

~0 = ~0,

a to je spor s pˇ

redpokladem, ˇ

ze ~a 6= ~0.

6. Z 3. bodu plyne, ˇ

ze rovnice α~a + ~

x = ~0 m´

a jedin´

e ˇ

reˇ

sen´ı, a to ~

x = −(α~a). Ovˇ

eˇ

rme, ˇ

ze tak´

e

(−α)~a a α(−~a) jsou ˇ

reˇ

sen´ım, pak je jasn´

e, ˇ

ze jsou rovny −(α~a).

α~a + (−α)~a = (α + (−α))~a = 0~a = ~0.

α~a + α(−~a) = α(~a + (−~a)) = α~0 = ~0.

Vyuˇ

zili jsme distributivity  v˚

uˇ

ci sˇ

c´ıt´

an´ı vektor˚

u a v˚

uˇ

ci sˇ

c´ıt´

an´ı ˇ

c´ısel a 4. bod Vˇ

ety 1.

D˚

ukaz Vˇ

ety 1 se v´

am asi v prvn´ı chv´ıli zd´

a obt´ıˇ

zn´

y, ale nelekejte se. Postupnˇ

e si zvyknete a

na konci semestru zjist´ıte, ˇ

ze d˚

ukazy v line´

arn´ı algebˇ

re jsou bez trik˚

u, pˇ

r´ımoˇ

car´

e, a tedy velmi

jednoduch´

e.

4

Pozn´

amka 9. D˚

ukaz Vˇ

ety 1 nen´ı jedin´

y moˇ

zn´

y. Zkuste dok´

azat nˇ

ekter´

e jej´ı body jin´

ym zp˚

usobem.

Pozn´

amka 10. Rozmysleme si ot´

azku, kolik vektor˚

u m˚

uˇ

ze obsahovat vektorov´

y prostor. Jistˇ

e

obsahuje alespoˇ

n jeden vektor ~

x, protoˇ

ze pˇ

redpokl´

ad´

ame nepr´

azdnost V . M˚

uˇ

ze obsahovat pouze

jeden vektor? Ano. Definujeme-li operace ~

x + ~

x = ~

x a pro kaˇ

zd´

e α ∈ T α~

x = ~

x, pak V = {~