Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

0
0
..

.
0

. Toto

ˇ

reˇ

sen´ı naz´

yv´

ame trivi´

aln´

ım.

8

V t´

eto kapitole se nebudeme uˇ

cit hledat vˇ

sechna ˇ

reˇ

sen´ı, ale budeme se zab´

yvat dvˇ

ema trochu

lehˇ

c´ımi ot´

azkami:

1. Jak zjistit, zda je dan´

a soustava ˇ

reˇ

siteln´

a?

2. Jak naj´

ıt alespoˇ

n jedno ˇ

reˇ

sen´

ı? (Samozˇ

rejmˇ

e za pˇ

redpokladu, ˇ

ze soustava je ˇ

reˇ

siteln´

a.)

Budeme pˇ

rev´

adˇ

et soustavu do tak jednoduch´

eho tvaru, ˇ

ze z nˇ

ej bude odpovˇ

ed’ na tyto dvˇ

e ot´

azky

zˇ

rejm´

a. D˚

uleˇ

zit´

e je, ˇ

ze ´

upravy budeme prov´

adˇ

et tak, ˇ

ze nezmˇ

en´ıme mnoˇ

zinu ˇ

reˇ

sen´ı. Takov´

ym

´

uprav´

am se ˇ

r´ık´

a ekvivalentn´

ı a budeme pouˇ

z´ıvat tˇ

ri takov´

e ´

upravy:

1. z´

amˇ

ena dvou rovnic,

2. pˇ

riˇ

cten´ı n´

asobku jin´

e rovnice k vybran´

e rovnici,

3. n´

asoben´ı rovnice ˇ

c´ıslem α 6= 0.

Rozmyslete si, ˇ

ze takov´

ymi ´

upravami se skuteˇ

cnˇ

e mnoˇ

zina ˇ

reˇ

sen´ı soustavy nemˇ

en´ı. D´

ale si uvˇ

edomte,

ˇ

ze m´ısto abychom tyto ´

upravy prov´

adˇ

eli s rovnicemi, m˚

uˇ

zeme je prov´

adˇ

et pˇ

r´ımo v rozˇ

s´ıˇ

ren´

e matici

soustavy. Jde pak o ´

upravy:

1. z´

amˇ

ena dvou ˇ

r´

adk˚

u,

2. pˇ

riˇ

cten´ı n´

asobku jin´

eho ˇ

r´

adku k vybran´

emu ˇ

r´

adku,

3. n´

asoben´ı ˇ

r´

adku ˇ

c´ıslem α 6= 0.

Tyto ´

upravy budeme prov´

adˇ

et s c´ılem dostat rozˇ

s´ıˇ

renou matici soustavy do tzv. horn´ıho

stupˇ

novit´

eho tvaru.

Definice 4. Matice A o m ˇr´adc´ıch a n + 1 sloupc´ıch s prvky aij, i ∈

b

m, j ∈ [

n + 1, je v horn´

ım

stupˇ

novit´

em tvaru, pokud existuje ` ∈

b

m a indexy k1, k2, . . . , k` takov´e, ˇze 1 ≤ k1 < k2 < · · · <

k` ≤ n + 1 a plat´ı

1. aik

i 6= 0 pro kaˇ

zd´

e i ∈ b

`,

2. aij = 0 pro kaˇzd´e i ∈ b

` a j < ki,