Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

cn´

em pˇ

r´ıpadˇ

e (tj. kdyˇ

z existuje index i0 ∈ ˆ

n tak, ˇ

ze αi

0 6= 0) jde o netrivi´

aln´

ı LK.

11

Pozn´

amka 23. Necht’ V je vektorov´

y prostor nad tˇ

elesem T a (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je soubor vektor˚

u

z V . Pak libovoln´

a LK (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je opˇet vektorem z V (definice LK m´

a tedy dobr´

y smysl).

To plyne z faktu, ˇ

ze kaˇ

zd´

y sˇ

c´ıtanec αi~xi je souˇcinem ˇc´ısla a vektoru, tedy vektorem z V , a souˇcet

souboru je z V podle Pozn´

amky 22.

Pozn´

amka 24. Nˇ

ekdy uˇ

zijeme slovn´ıho spojen´ı

”

vektor ~

x je LK vektor˚

u ~

x1, ~x2, . . . , ~xn“ m´ısto

”

vektor ~

x je LK souboru (~

x1, ~x2, . . . , ~xn)“. Obˇe vyj´

adˇ

ren´ı maj´ı stejn´

y v´

yznam.

Pozn´

amka 25. Rozmyslete si, ˇ

ze v´

ysledkem trivi´

aln´ı LK je nulov´

y vektor.

Definice 7. Necht’ V je vektorov´

y prostor nad tˇ

elesem T a (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je soubor vektor˚

u

z V . Mnoˇ

zinu vˇ

sech LK souboru (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) nazveme line´

arn´

ım obalem (LO) souboru

(~

x1, ~x2, . . . , ~xn) a znaˇc´ıme ji [~x1, ~x2, . . . , ~xn]λ, tj.

[~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ =

(

n

X

i=1

αi~xi

pro kaˇ

zd´

e i ∈ ˆ

n je αi ∈ T

)

.

Vektory ~

x1, ~x2, . . . , ~xn naz´

yv´

ame gener´

atory LO.

Vˇ

eta 3 (Vlastnosti LO). Necht’ V je vektorov´

y prostor nad tˇ

elesem T a ~

x1, ~x2, . . . , ~xn, ~xn+1 jsou

vektory z V . Pak plat´ı:

1. ~0 ∈ [~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ.

2. Jestliˇ

ze (k1, k2, . . . , kn) je permutace mnoˇziny ˆ

n, pak plat´ı [~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ = [~xk

1 , ~

xk

2 , . . . , ~

xk

n ]λ .

Slovy: