Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

nˇ

ejak´

e k ∈ ˆ

n. Pak existuj´ı ˇ

c´ısla α1, . . . , αk ∈ T alespoˇ

n jedno nenulov´

e takov´

a, ˇ

ze ~0 =

Pk

i=1 αi~

xi. Pak ale tak´e plat´ı ~0 =

Pk

i=1 αi~

xi +

Pn

i=k+1 0~

xi, coˇz je netrivi´

aln´ı LK souboru

(~

x1, ~x2, . . . , ~xn) d´

avaj´ıc´ı ~0, a tedy m´

ame spor s LN (~

x1, ~x2, . . . , ~xn).

5. Toto tvrzen´ı plyne z pˇ

redchoz´ıho uˇ

zit´ım faktu, ˇ

ze kdyˇ

z plat´ı implikace A ⇒ B, tak plat´ı tak´

e

implikace eB ⇒eA.

6. Dokazujeme ekvivalenci, tedy dvˇ

e implikace.

(⇒) : Pˇ

redpokl´

ad´

ame, ˇ

ze (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je LZ, tedy podle definice existuj´ı ˇc´ısla α1, . . . , αn ∈

T takov´

a, ˇ

ze alespoˇ

n jedno z nich je nenulov´

e (oznaˇ

cme je αi

0 ) a

Pn

i=1 αi~

xi = ~0. Odtud

dostaneme αi

0 ~

xi

0 = −

Pn

i=1,i6=i0 αi~

xi. A na z´

avˇ

er m´

ame

~

xi

0 =

n

X

i=1,i6=i0

(−αi/αi

0 )~

xi.

Tedy podle definice LO dost´

av´

ame ~

xi

0 ∈ [~

x1, . . . , ~xi

0 −1 , ~

xi

0 +1 , . . . , ~

xn]λ.

(⇐) : Pˇ

redpokl´

adejme, ˇ

ze ~

xi

0

∈ [~

x1, . . . , ~xi

0 −1 , ~

xi

0 +1 , . . . , ~

xn]λ. Podle definice LO existuj´ı

ˇ

c´ısla α1, . . . , αi

0 −1 , αi0 +1 , . . . , αn ∈ T

takov´

a, ˇ

ze

~

xi

0 =

n

X

i=1,i6=i0

αi~xi.

Odtud dost´

av´

ame

Pn

i=1,i6=i0 (−αi)~

xi + 1~xi

0 =

~0, coˇz je netrivi´aln´ı LK (~x

1, ~

x2, . . . , ~xn) rovn´

a

~0, proto (~x

1, ~

x2, . . . , ~xn) je LZ.

15

7. Opˇ

et dokazujeme dvˇ

e implikace.

(⇒) : Necht’ (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je LZ, pak samozˇrejmˇe ~x1 m˚

uˇ

ze b´

yt nulov´

y. Oˇ

setˇ

reme jeˇ

stˇ

e

pˇ

r´ıpad, kdy ~

x1 6= ~0. Pak z definice LZ plyne, ˇze existuj´ı ˇc´ısla α1, . . . , αn ∈ T takov´