Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

a, ˇ

ze

Pn

i=1 αi~

xi = ~0 a alespoˇ

n jedno z ˇ

c´ısel je nenulov´

e. Oznaˇ

cme i0 = max{i ∈ ˆ

n

αi 6= 0}.

Mnoˇ

zina vpravo je nepr´

azdn´

a, protoˇ

ze aspoˇ

n jedno z ˇ

c´ısel αi je nenulov´e. Nav´ıc i0 ≥ 2.

Kdyby totiˇ

z i0 = 1, pak by α1~x1 = ~0, coˇz je spor s Vˇetou 1, podle kter´e plyne z ~x1 6= ~0, ˇze

α1 = 0. Odtud dost´

av´

ame ~0 =

Pn

i=1 αi~

xi =

Pi0

i=1 αi~

xi. D´

ale m´

ame αi

0 ~

xi

0 = −

Pi0 −1

i=1 αi~

xi a

na z´

avˇ

er ~

xi

0 =

Pi0 −1

i=1 (−αi/αi0 )~

xi. Coˇz podle definice LO znamen´

a, ˇ

ze ~

xi

0 ∈ [~

x1, . . . , ~xi

0 −1 ]λ .

(⇐) : Necht’ ~

x1 = ~0, pak podle 2. vlastnosti t´eto vˇety je soubor (~x1, ~x2, . . . , ~xn) LZ. Druh´

a

moˇ

znost je, ˇ

ze ~

x1 6= ~0 a ~xi

0

=

Pi0 −1

i=1 αi~

xi pro nˇejak´e i0 ≥ 2. Pak plat´ı ~0 =

Pi0 −1

i=1 αi~

xi +

(−1)~

xi

0 +

Pn

i=i0+1 0~

xi, coˇz je netrivi´

aln´ı LK souboru (~

x1, ~x2, . . . , ~xn), kter´

y je tedy LZ.

Pˇ

r´

ıklad 9. Rozmyslete si, ˇ

ze soubor dvou vektor˚

u (~

x, ~

y) je LZ ⇔ (∃α ∈ T )(~

x = α~

y ∨ ~

y = α~

x).

3.2

B´

aze a dimenze

Definice 9. Necht’ ~

x1, ~x2, . . . , ~xn jsou vektory z vektorov´eho prostoru V nad tˇelesem T . Necht’ V =

[~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ. Pak ˇr´ık´

ame, ˇ

ze (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je soubor gener´

ator˚

u (generuj´

ıc´

ı soubor) V .

ˇ

R´ık´

ame, ˇ

ze (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) generuje V .

Pozn´

amka 26. V pˇ

r´ıpadˇ

e LO uˇ

z jsme gener´

atory zav´

adˇ

eli, naz´

yvali jsme tak pro LO [~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ

vektory ~

x1, ~x2, . . . , ~xn. Nyn´ı vid´ıme, ˇze ch´

apeme-li LO jako vektorov´