Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

ze [~

y1, ~

y2, . . . , ~

ym]λ = [~x1, (~

yi

i ∈ ˆ

m − {i1})]λ. Z faktu, ˇze ~x1 ∈ [~

y1, ~

y2, . . . , ~

ym]λ plyne

18

1. uˇ

zit´ım Vˇ

ety 3 o vlastnostech LO, ˇ

ze

[~

y1, ~

y2, . . . , ~

ym]λ = [~x1, ~

y1, ~

y2, . . . , ~

ym]λ,

(3)

2. uˇ

zit´ım Vˇ

ety 4 o vlastnostech LN a LZ soubor˚

u, ˇ

ze (~

x1, ~

y1, ~

y2, . . . , ~

ym) je LZ soubor.

D´

ale uˇ

zit´ım Alternativn´ı definice LZ (7. bod Vˇ

ety 4 o vlastnostech LN a LZ soubor˚

u) do-

staneme, ˇ

ze nˇ

ekter´

y z y-ov´

ych vektor˚

u je LK pˇ

redchoz´ıch (vyuˇ

zili jsme faktu, ˇ

ze ~

x1 6= ~0,

protoˇ

ze n´

aleˇ

z´ı LN souboru), tj. existuje index i1 ∈ ˆ

m takov´

y, ˇ

ze ~

yi

1

∈ [~

x1, ~

y1, . . . , ~

yi

1 −1 ]λ .

Odtud z Vˇ

ety 3 o vlastnostech LO plyne, ˇ

ze ~

yi

1 lze z [~

x1, ~

y1, ~

y2, . . . , ~

ym]λ vyhodit, aniˇz by se

LO zmˇ

enil, tedy [~

x1, ~

y1, ~

y2, . . . , ~

ym]λ = [~x1, (~

yi

i ∈ ˆ

m − {i1})]λ. A na z´

avˇ

er podle (3) m´

ame

[~

y1, ~

y2, . . . , ~

ym]λ = [~x1, (~

yi

i ∈ ˆ

m − {i1})]λ.

• Necht’ pro 1 ≤ k < min{m, n} existuj´ı vz´

ajemnˇ

e r˚

uzn´

e indexy i1, i2, . . . , ik ∈ ˆ

m takov´

e, ˇ

ze

[~

y1, ~

y2, . . . , ~

ym]λ = [~x1, ~x2, . . . , ~xk, (~

yi

i ∈ ˆ

m − {i1, i2, . . . , ik})]λ.

Dok´

aˇ

zeme, ˇ

ze pak existuje index ik+1 ∈ ˆ

m r˚

uzn´

y od pˇ

redchoz´ıch i1, . . . , ik takov´

y, ˇ

ze

[~

y1, ~

y2, . . . , ~

ym]λ = [~x1, ~x2, . . . , ~xk+1, (~

yi

i ∈ ˆ

m − {i1, i2, . . . , ik, ik+1})]λ.

Z faktu, ˇ

ze ~

xk+1 ∈ [~

y1, ~

y2, . . . , ~

ym]λ = [~x1, ~x2, . . . , ~xk, (~