Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

ˇ

Ze by soubor (~

x1, ~x2, . . . , ~xn, ~xn+1) byl LN, lze uk´

azat uˇ

zit´ım Alternativn´ı definice LZ (7. bod

Vˇ

ety 4 o vlastnostech LN a LZ soubor˚

u): jelikoˇ

z je soubor (~

x1, . . . , ~xn) LN, plat´ı ~x1 6= ~0 a pro

kaˇ

zd´

e i ∈ ˆ

n plat´ı, ˇ

ze ~

xi nen´ı LK pˇredchoz´ıch vektor˚

u ze souboru, a z´

aroveˇ

n ani ~

xn+1 nen´ı LK

souboru (~

x1, . . . , ~xn).

(⇐) : Necht’ (~

x1, . . . , ~xn) je b´

aze V , pak ve V existuje n-ˇ

clenn´

y LN soubor (jelikoˇ

z (~

x1, . . . , ~xn) je

LN). Protoˇ

ze (~

x1, . . . , ~xn) je tak´e generuj´ıc´ı soubor, plyne z 1. bodu Steinitzovy vˇety, ˇze kaˇzd´

y LN

soubor m´

a maxim´

alnˇ

e n ˇ

clen˚

u, a tedy kaˇ

zd´

y (n + 1)-ˇ

clenn´

y soubor je LZ. T´ım je podle definice

dok´

az´

ano, ˇ

ze dim V = n.

D˚

usledek 1 (D˚

usledky Steinitzovy vˇ

ety). Necht’ n ∈ N a V je vektorov´y prostor nad tˇelesem T a

dim V = n. Pak plat´ı:

1. Kaˇ

zd´

a b´

aze V je n-ˇ

clenn´

a.

2. Kaˇ

zd´

y n-ˇ

clenn´

y LN soubor ve V uˇ

z generuje V , a je tedy b´

az´ı V .

3. Kaˇ

zd´

y n-ˇ

clenn´

y soubor gener´

ator˚

u V uˇ

z je LN, a je tedy b´

az´ı V .

D˚

ukaz.

1. V´ıme, ˇ

ze ve V existuje n-ˇ

clenn´

a b´

aze. Oznaˇ

cme ji (~

x1, . . . , ~xn). Necht’ (~

y1, . . . , ~

ym) je

jin´

a b´

aze V . Jelikoˇ

z (~

x1, . . . , ~xn) je soubor gener´

ator˚

u V a (~

y1, . . . , ~

ym) je LN soubor ve V , je

podle 1. bodu Steinitzovy vˇ

ety n ≥ m. Obdobnˇ

e, protoˇ

ze (~

y1, . . . , ~

ym) je soubor gener´

ator˚

u

V a (~

x1, . . . , ~xn) je LN soubor ve V , plat´ı opˇet podle 1. bodu Steinitzovy vˇety, ˇze tak´e m ≥ n.