Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

x ∈ V existuje pr´

avˇ

e jedna uspoˇ

r´

adan´

a

n-tice

α1

α2

..

.

αn

∈ T n takov´

a, ˇ

ze ~

x =

Pn

i=1 αi~

xi.

D˚

ukaz.

• Existence takov´eho vektoru

α1

α2

..

.

αn

plyne z faktu, ˇ

ze V = [~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ.

• Jednoznaˇcnost dok´

aˇ

zeme sporem. Necht’

α1

α2

..

.

αn

a

β1
β2

..

.

βn

jsou dvˇ

e r˚

uzn´

e n-tice splˇ

nuj´ıc´ı ~

x =

Pn

i=1 αi~

xi =

Pn

i=1 βi~

xi. Pak ale

Pn

i=1(αi − βi)~

xi = ~0 a pˇritom jde o netrivi´

aln´ı LK, protoˇ

ze

jistˇ

e pro nˇ

ekter´

y index i0 ∈ ˆ

n je αi

0 − βi0 6= 0. To je spor s LN souboru (~

x1, ~x2, . . . , ~xn).

Definice 12. Necht’ X = (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je b´

aze vektorov´

eho prostoru V nad tˇ

elesem T .

1. Necht’ ~

x =

Pn

i=1 αi~

xi. Pak αi nazveme i-t´

a souˇ

radnice vektoru ~

x v b´

azi X .

2. Necht’ i ∈ ˆ

n. Zobrazen´ı ~

x

#
i

: V → T , kter´

e vektoru pˇ

riˇ

rad´ı jeho i-tou souˇ

radnici v b´

azi X ,

tj. ~

x

#
i (~

x) = αi, pokud ~x =

Pn

i=1 αi~

xi, nazveme i-t´

ym souˇ

radnicov´

ym funkcion´

alem v

b´

azi X .

3. Zobrazen´ı (.)X : V → T

n, kter´e vektoru pˇriˇrad´ı vektor vˇsech jeho souˇradnic v b´azi X , tj.

(~

x)X =

α1

α2

..

.

αn

, pokud ~

x =

Pn

i=1 αi~

xi, nazveme souˇ

radnicov´

ym izomorfismem v b´

azi X .

((~

x)X ˇcteme

”

~

x v b´

azi X“ nebo

”

souˇ

radnice vektoru ~

x v b´

azi X“).

Pozn´

amka 31. D´ıky Vˇ

etˇ

e 9 o jednoznaˇ

cnosti vyj´

adˇ

ren´ı vektoru pomoc´ı LK b´

aze v´ıme, ˇ

ze souˇ

radnicov´

y

funkcion´

al a souˇ

radnicov´

y izomorfismus jsou skuteˇ

cnˇ

e zobrazen´ı, tedy nestane se, ˇ

ze by ~

x

#
i

pˇ

riˇ

radil

stejn´

emu vektoru ~

x v´ıce r˚

uzn´

ych ˇ

c´ısel nebo (.)X pˇriˇradil stejn´emu vektoru ~x v´ıce r˚

uzn´

ych n-tic ˇ

c´ısel.

Vˇ

eta 10 (Vlastnosti souˇ

radnicov´