Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

eho funkcion´

alu). Necht’ X = (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je b´

aze vektorov´

eho

prostoru V nad tˇ

elesem T . Pak plat´ı pro kaˇ

zd´

e i ∈ ˆ

n:

1. Pro kaˇ

zd´

e dva vektory ~

x, ~

y ∈ V je ~

x

#
i (~

x + ~

y) = ~

x

#
i (~

x) + ~

x

#
i (~

y) (ˇ

r´ık´

ame, ˇ

ze ~

x

#
i

je aditivn´

ı).

2. Pro kaˇ

zd´

e α ∈ T a ~

x ∈ V je ~

x

#
i (α~

x) = α~

x

#
i (~

x) (ˇ

r´ık´

ame, ˇ

ze ~

x

#
i

je homogenn´

ı).

3. ~

x

#
i (~

xj) = δij (Kroneckerovo delta), tj. ~x

#
i (~

xj) = 0 pro kaˇzd´e j ∈ ˆ

n, j 6= i a ~

x

#
i (~

xi) = 1.

D˚

ukaz.

1. Necht’ ~

x =

Pn

i=1 αi~

xi a ~

y =

Pn

i=1 βi~

xi. Pak ~x + ~

y =

Pn

i=1(αi + βi)~

xi. Podle definice

souˇ

radnicov´

eho funcion´

alu pak plat´ı ~

x

#
i (~

x) = αi, ~x

#
i (~

y) = βi a ~x

#
i (~

x + ~

y) = αi + βi, a tedy

plat´ı ~

x

#
i (~

x + ~

y) = ~

x

#
i (~

x) + ~

x

#
i (~

y).

2. Necht’ ~

x =

Pn

i=1 αi~

xi. Pak α~x =

Pn

i=1(ααi)~

xi. Podle definice je ~x

#
i (~

x) = αi a ~x

#
i (α~

x) = ααi,

a tedy plat´ı ~

x

#
i (α~

x) = α~

x

#
i (~

x).

3. Jelikoˇ

z ~

xj = 0~x1 + · · · + 0~xj−1 + 1~xj + 0~xj+1 + · · · + 0~xn, podle definice m´

ame ~

x

#
i (~

xj) = δij.

D˚

usledek 2 (D˚

usledek Vˇ

ety 10 o vlastnostech souˇ

radnicov´

eho funkcion´

alu). Necht’ X = (~

x1, ~x2, . . . , ~xn)

je b´

aze vektorov´

eho prostoru V nad tˇ

elesem T . Pak plat´ı:

23

1. Pro kaˇ

zd´

e ~

x, ~

y ∈ V je (~

x + ~

y)X = (~x)X + (~

y)X (ˇr´ık´

ame, ˇ

ze souˇ

radnicov´

y izomorfismus je

aditivn´

ı).

2. Pro kaˇ

zd´

e α ∈ T a ~

x ∈ V je (α~

x)X = α(~x)X (ˇr´ık´

ame, ˇ

ze souˇ

radnicov´

y izomorfismus je

homogenn´

ı).

3. (~

xj)X = ~ej pro kaˇzd´e j ∈ ˆ