Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

ame ~

x = ~

x + ~0 ∈ P + Q.

2. Ovˇ

eˇ

r´ıme vlastnosti z definice podprostoru:

(a) P + Q ⊂ V , protoˇ

ze P ⊂ V a Q ⊂ V a V je uzavˇ

ren´

a na sˇ

c´ıt´

an´ı,

(b) P + Q 6= ∅, protoˇ

ze ~0 ∈ P , ~0 ∈ Q a ~0 + ~0 = ~0 ∈ P + Q,

(c) P + Q je uzavˇ

ren´

y na sˇ

c´ıt´

an´ı vektor˚

u, protoˇ

ze pro libovoln´

e ~

x1, ~x2 ∈ P + Q existuj´ı

~

p1, ~

p2 ∈ P a ~

q1, ~

q2 ∈ Q takov´e, ˇze ~x1 = ~

p1 + ~

q1 a ~x2 = ~

p2 + ~

q2, proto ~x1 + ~x2 =

~

p1 + ~

q1 + ~

p2 + ~

q2 = ~

p1 + ~

p2 + ~

q1 + ~

q2, a jelikoˇz P a Q jsou podprostory, plat´ı ~

p1 + ~

p2 ∈ P

a ~

q1 + ~

q2 ∈ Q, z ˇcehoˇz plyne, ˇze ~x1 + ~x2 ∈ P + Q,

(d) P + Q je uzavˇ

ren´

y na n´

asoben´ı vektoru ˇ

c´ıslem, protoˇ

ze pro libovoln´

e ~

x ∈ P + Q a libo-

voln´

e α ∈ T existuje ~

p ∈ P a ~

q ∈ Q takov´

e, ˇ

ze ~

x = ~

p + ~

q, proto α~

x = α(~

p + ~

q) = α~

p + α~

q,

a jelikoˇ

z P a Q jsou podprostory, plat´ı α~

p ∈ P a α~

q ∈ Q, z ˇ

cehoˇ

z plyne, ˇ

ze α~

x ∈ P + Q.

3. Dokazujeme ekvivalenci, tedy dvˇ

e implikace.

(⇒): Dokaˇ

zme implikaci sporem. Pˇ

redpokl´

ad´

ame, ˇ

ze P + Q je direktn´ı a P ∩ Q 6= {~0}. Tedy

existuje ~

x ∈ P ∩ Q, ~

x 6= ~0. Potom ale ~

x = ~0 + ~

x = ~

x + ~0, coˇ

z jsou dva r˚

uzn´

e z´

apisy ~

x jakoˇ

zto

souˇ

ctu vektor˚

u z P + Q, coˇ

z je spor s direktnost´ı.

(⇐): Dokaˇ

zme i druhou implikaci sporem. Pˇ

redpokl´

ad´

ame, ˇ

ze P ∩ Q = {~0}, ale P + Q nen´ı

direktn´ı. Pak existuje vektor ~

x ∈ P + Q, pro kter´