Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

y lze naj´ıt ~

p1, ~

p2 ∈ P , ~

p1 6= ~

p2, a ~

q1, ~

q2 ∈ Q

takov´

e, ˇ

ze ~

x = ~

p1 + ~

q1 = ~

p2 + ~

q2. Pak ale ~

p1 − ~

p2 = ~

q2 − ~

q1 je nenulov´

y vektor, kter´

y patˇ

r´ı do

P i do Q, je to tedy nenulov´

y vektor z P ∩ Q, coˇ

z je spor s pˇ

redpokladem, ˇ

ze P ∩ Q = {~0}.

4. Ovˇ

eˇ

r´ıme vlastnosti z definice podprostoru:

(a) P ∩ Q ⊂ V , protoˇ

ze P ⊂ V a Q ⊂ V ,

(b) P ∩ Q 6= ∅, protoˇ

ze ~0 ∈ P , ~0 ∈ Q, a tedy ~0 ∈ P ∩ Q,

(c) P ∩ Q je uzavˇ

ren´

y na sˇ

c´ıt´

an´ı vektor˚

u, protoˇ

ze pro libovoln´

e ~

x1, ~x2 ∈ P ∩ Q plat´ı, ˇze

~

x1, ~x2 patˇr´ı jak do P , tak i do Q, jelikoˇz P a Q jsou podprostory, patˇr´ı ~x1 + ~x2 do P i
do Q a odtud uˇ

z plyne, ˇ

ze ~

x1 + ~x2 ∈ P ∩ Q,

27

(d) P ∩ Q je uzavˇ

ren´

y na n´

asoben´ı vektoru ˇ

c´ıslem, protoˇ

ze pro libovoln´

y vektor ~

x ∈ P ∩ Q

patˇ

r´ı ~

x do P i do Q, coˇ

z jsou podprostory V , a tedy pro libovoln´

e α ∈ T , je α~

x z P i z

Q a odtud uˇ

z plyne, ˇ

ze α~

x ∈ P ∩ Q.

5. Uˇ

z v´ıme z prvn´ıho pˇ

r´ıkladu za definic´ı podprostoru, ˇ

ze [~

x1, . . . , ~xn]λ ⊂⊂ V . Abychom

dok´

azali, ˇ

ze jde o nejmenˇ

s´ı podprostor V , kter´

y obsahuje vektory ~

x1, . . . , ~xn, staˇc´ı vysvˇetlit,

ˇ

ze kaˇ

zd´

y podprostor obsahuj´ıc´ı vektory ~

x1, . . . , ~xn obsahuje i jejich libovolnou LK. To je

ale jasn´

e z faktu, ˇ

ze podprostor je z´

aroveˇ

n vektorov´

y prostorem a o vektorov´

ych prostorech

v´ıme, ˇ

ze tuto vlastnost maj´ı.

Pozn´

amka 34. Rozmyslete si sami, ˇ