Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
u:
1. [( 0
0 )]λ = {
~0},
2. [~
x]λ, kde ~x 6= ~0 (v´ıme, ˇze jde o pˇr´ımku jdouc´ı bodem ( 00 ) a obsahuj´ıc´ı vektor ~x),
3. [~
x, ~
y]λ, kde (~x, ~
y) je LN soubor (v´ıme, ˇ
ze jde o cel´
e R
2, protoˇze (~x, ~y) je 2-ˇclenn´y LN soubor,
a tedy tvoˇ
r´ı b´
azi R
2).
Za chv´ıli se dozv´ıme, ˇ
ze ˇ
z´
adn´
e jin´
e podprostory uˇ
z R
2 nem´a.
Pˇ
r´
ıklad 19. V R
3 m´ame n´asleduj´ıc´ı typy podprostor˚
u:
1. [
0
0
0
]λ = {~0},
2. [~
x]λ, kde ~x 6= ~0 (v´ıme, ˇze jde o pˇr´ımku jdouc´ı bodem
0
0
0
a obsahuj´ıc´ı vektor ~
x),
3. [~
x, ~
y]λ, kde (~x, ~
y) je LN soubor (snadno si rozmysl´ıte, ˇ
ze jde o rovinu proch´
azej´ıc´ı bodem
0
0
0
a obsahuj´ıc´ı vektory ~
x a ~
y),
4. [~
x, ~
y, ~
z]λ, kde (~x, ~
y, ~
z) je LN soubor (v´ıme, ˇ
ze jde o cel´
e R
3, protoˇze (~x, ~y, ~z) je 3-ˇclenn´y LN
soubor, a tedy tvoˇ
r´ı b´
azi R
3).
Za chv´ıli se dozv´ıme, ˇ
ze ˇ
z´
adn´
e jin´
e podprostory uˇ
z R
3 nem´a.
Vˇ
eta 11 (Vlastnosti podprostor˚
u). Necht’ V je vektorov´
y prostor nad tˇ
elesem T a necht’ P ⊂⊂ V .
Pak plat´ı:
1. ~0 ∈ P .
2. {~0} ⊂⊂ V a V ⊂⊂ V .
3. P je vektorov´
y prostor nad tˇ
elesem T (pˇ
ri zachov´
an´ı operac´ı z V ).
4. Necht’ Q ⊂⊂ P a P ⊂⊂ V , pak Q ⊂⊂ V (tranzitivita vlastnosti b´
yti podprostorem).
5. dim P ≤ dim V .
6. Necht’ dim V < +∞. Pokud dim P = dim V , pak P = V .
D˚
ukaz.
1. P 6= ∅, proto existuje ~
x ∈ V takov´
y, ˇ
ze ~
x ∈ P , a jelikoˇ
z je P mnoˇ
zina uzavˇ
ren´
a na
n´
asoben´ı ˇ
c´ıslem, je tak´
e 0~
x = ~0 ∈ P .
25
2. Splnˇ
en´ı vlastnost´ı 1. aˇ