Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

zinu

A + B = {~a + ~b

~a ∈ A,~b ∈ B}.

ˇ

Rekneme, ˇ

ze souˇ

cet A + B je direktn´ı, p´ıˇ

seme A ⊕ B, pokud pro kaˇ

zd´

y vektor ~

x ∈ A + B existuje

pr´

avˇ

e jeden vektor ~a ∈ A a pr´

avˇ

e jeden vektor ~b ∈ B takov´

e, ˇ

ze ~

x = ~a + ~b.

Pˇ

r´

ıklad 21. Necht’ V = R

2, A = {( 0

1 ) , (

0

0 )} a B = {(

1

1 ) , (

1

0 )}. Pak A + B = {(

1

2 ) , (

1

1 ) , (

1

0 )}.

Souˇ

cet A + B nen´ı direktn´ı, protoˇ

ze ( 1

1 ) = (

0

0 ) + (

1

1 ) = (

0

1 ) + (

1

0 ).

26

Pˇ

r´

ıklad 22. Necht’ V = R

2, A = {( 0

1 ) , (

1

0 )} a B = {(

1

1 ) , (

0

0 )}. Pak A+B = {(

1

2 ) , (

2

1 ) , (

0

1 ) , (

1

0 )}.

Tentokr´

at je A + B direktn´ı.

Pozn´

amka 33. Pˇ

ripomeˇ

nme pro jistotu i definici sjednocen´ı a pr˚

uniku mnoˇ

zin. Necht’ A, B jsou

podmnoˇ

ziny vektorov´

eho prostoru V nad tˇ

elesem T (ne nutnˇ

e podprostory!).

A ∪ B = {~a

~a ∈ A ∨ ~a ∈ B},

A ∩ B = {~a

~a ∈ A ∧ ~a ∈ B}.

Vˇ

eta 12 (Vlastnosti souˇ

ctu a pr˚

uniku podprostor˚

u). Necht’ P, Q ⊂⊂ V , kde V je vektorov´

y prostor

nad tˇ

elesem T . Pak plat´ı:

1. P ∩ Q ⊂ P + Q.

2. P + Q ⊂⊂ V .

3. P + Q je direktn´ı ⇔ P ∩ Q = {~0}.

4. P ∩ Q ⊂⊂ V .

5. Necht’ ~

x1, . . . , ~xn ∈ V , pak [~x1, . . . , ~xn]λ je nejmenˇs´ı podprostor V , kter´

y obsahuje vektory

~

x1, . . . , ~xn, tj.

[~

x1, . . . , ~xn]λ =

\

{Q ⊂⊂ V

~

xi ∈ Q pro kaˇzd´e i ∈ ˆ

n}.

D˚

ukaz.

1. Je-li ~

x ∈ P ∩ Q, pak ~

x ∈ P . Jelikoˇ

z ~0 ∈ Q, m´