Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

cme (~

z1, . . . , ~zs) libovolnou b´

azi P ∩ Q. Protoˇ

ze P ∩ Q ⊂ P , lze

(~

z1, . . . , ~zs) doplnit na b´

azi P , oznaˇ

cme ji (~

z1, . . . , ~zs, ~x1, . . . , ~xn−s). Protoˇze P ∩ Q ⊂ Q,

lze (~

z1, . . . , ~zs) doplnit na b´

azi Q, oznaˇ

cme ji (~

z1, . . . , ~zs, ~

y1, . . . , ~

ym−s). Dok´

aˇ

zeme-li,

ˇ

ze pak X = (~

z1, . . . , ~zs, ~x1, . . . , ~xn−s, ~

y1, . . . , ~

ym−s) je b´

aze P + Q, bude rovnost (5)

dok´

az´

ana, protoˇ

ze pak bude jasn´

e, ˇ

ze dim (P + Q) + dim (P ∩ Q) = (n + m − s) + s =

dim P + dim Q, protoˇ

ze n + m − s je poˇ

cet vektor˚

u v souboru X .

Dokaˇ

zme tedy, ˇ

ze (~

z1, . . . , ~zs, ~x1, . . . , ~xn−s, ~

y1, . . . , ~

ym−s) je b´

aze P + Q.

• Mus´ıme uk´

azat, ˇ

ze (~

z1, . . . , ~zs, ~x1, . . . , ~xn−s, ~

y1, . . . , ~

ym−s) generuje P +Q. Pro kaˇzd´e

~

x ∈ P + Q existuje ~

p ∈ P a ~

q ∈ Q takov´

e, ˇ

ze ~

x = ~

p + ~

q. Jelikoˇ

z ~

p ∈ P , lze ~

p ps´

at

jako LK bazick´

ych vektor˚

u P , tj. existuj´ı ˇ

c´ısla α1, . . . , αs, γ1, . . . , γn−s ∈ T takov´

a,

ˇ

ze ~

p =

Ps

i=1 αi~

zi +

Pn−s

i=1 γi~

xi, a podobnˇe existuj´ı ˇc´ısla β1, . . . , βs, δ1, . . . , δm−s ∈ T

takov´

a, ˇ

ze ~

q =

Ps

i=1 βi~

zi +

Pm−s

i=1

δi~

yi. Odtud ~x =

Ps

i=1(αi + βi)~

zi +

Pn−s

i=1 γi~

xi +

Pm−s

i=1

δi~

yi, a tedy ~x ∈ [~z1, . . . , ~zs, ~x1, . . . , ~xn−s, ~

y1, . . . , ~

ym−s]λ.

• (~

z1, . . . , ~zs, ~x1, . . . , ~xn−s, ~