Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

existuj´ı ˇ

c´ısla α1, . . . , αk ∈ T tak, ˇze ~x =

Pk

i=1 αi~

xi, a tak´e patˇr´ı do Q, tedy existuj´ı ˇc´ısla

αk+1, . . . , αn ∈ T tak, ˇze ~x =

Pn

i=k+1 αi~

xi. Odtud m´

ame

Pk

i=1 αi~

xi =

Pn

i=k+1 αi~

xi,

proto ~0 =

Pk

i=1 αi~

xi −

Pn

i=k+1 αi~

xi =

Pk

i=1 αi~

xi +

Pn

i=k+1(−αi)~

xi. Z LN souboru

(~

x1, ~x2, . . . , ~xn) plyne, ˇze αi = 0 pro kaˇzd´e i ∈ ˆ

n. Tedy ~

x = ~0.

Pozn´

amka 40. Doplnˇ

ek obvykle nen´ı jedin´

y! Napˇ

r´ıklad pro V = R

2 a P = [( 1

0 )]λ je doplˇ

nkem

Q1 = [( 01 )]λ, ale tak´e tˇreba Q2 = [(

1

1 )]λ.

Pˇ

redstav´ıme-li si situaci geometricky, pak P je pˇ

r´ımka proch´

azej´ıc´ı poˇ

c´

atkem ( 0

0 ) a bodem (

1

0 )

a doplˇ

nkem P je libovoln´

a pˇ

r´ımka jdouc´ı poˇ

c´

atkem, kter´

a je r˚

uzn´

a od P .

31

5

Line´

arn´ı zobrazen´ı

Vˇ

sude v t´

eto kapitole budeme uvaˇ

zovat vektorov´

e prostory koneˇ

cn´

e dimenze. Takˇ

ze i kdyˇ

z to v

pˇ

redpokladech vˇ

et nebudeme uv´

adˇ

et, automaticky to pˇ

redpokl´

ad´

ame.

Definice 17. Necht’ P, Q jsou vektorov´

e prostory nad stejn´

ym tˇ

elesem T . Zobrazen´ı A : P → Q

nazveme line´

arn´

ım (homomorfn´

ım), pokud

1. pro kaˇ

zd´

e dva vektory ~

x, ~

y ∈ P plat´ı A(~

x +~

y) = A(~

x) + A(~

y) (hovoˇ

r´ıme o aditivitˇ

e zobrazen´ı

A),

2. pro kaˇ

zd´

e α ∈ T a kaˇ

zd´

y vektor ~

x ∈ P plat´ı A(α~

x) = αA(~

x) (hovoˇ

r´ıme o homogenitˇ

e

zobrazen´ı A).

Pozn´

amka 41. M´ısto A(~

x) budeme ˇ

castˇ

eji ps´

at A~

x.

Pozn´

amka 42. Line´

arn´ı zobrazen´ı m´

a smysl zav´

adˇ

et jen pro vektorov´

e prostory P, Q nad stejn´

ym tˇ

elesem.

V podm´ınce 2. (homogenita) se totiˇ

z ˇ

c´ısly z tˇ

elesa n´

asob´ı jak vektory ~

x z P , tak i vektory A~