Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

yv´

ame ϕ line´

arn´

ı funkcion´

al a p´ıˇ

seme V # m´ısto L(V, T ) a V #

naz´

yv´

ame du´

aln´

ı prostor k V .

Pˇ

r´

ıklad 25. Necht’ V je vektorov´

y prostor nad tˇ

elesem T .

• Pˇr´ıkladem line´

arn´ıho oper´

atoru je identick´

y oper´

ator I, kter´

y kaˇ

zd´

emu ~

x ∈ V pˇ

riˇ

rad´ı I~

x = ~

x.

• Necht’ X = (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je b´

aze V . Pak pro kaˇ

zd´

e i ∈ ˆ

n je i-t´

y souˇ

radnicov´

y funkcion´

al

~

x

#
i

v b´

azi X pˇ

r´ıkladem line´

arn´ıho funkcion´

alu, pˇ

riˇ

cemˇ

z aditivita a homogenita ~

x

#
i

plyne z

Vˇ

ety 10 o vlastnostech souˇ

radnicov´

eho funkcion´

alu.

Definice 20. Necht’ P, Q jsou vektorov´

e prostory nad stejn´

ym tˇ

elesem T . Necht’ A ∈ L(P, Q).

• Je-li A prost´

e, ˇ

rekneme, ˇ

ze A je monomorfn´

ı.

• Je-li A

”

na“ Q, ˇ

rekneme, ˇ

ze A je epimorfn´

ı.

• Je-li A prost´

e a

”

na“ Q, ˇ

rekneme, ˇ

ze A je izomorfn´

ı.

• Je-li A izomorfn´ı a P = Q, ˇrekneme, ˇze A je regul´

arn´

ı oper´

ator.

34

Pozn´

amka 44. Definice prost´

eho zobrazen´ı a zobrazen´ı

”

na“ (surjektivn´ıho) zn´

ate z matematick´

e

anal´

yzy. Pˇ

resto je pˇ

ripomeneme. Necht’ A : P → Q.

• A je prost´

e, pokud (∀~

x, ~

y ∈ P )((A~

x = A~

y) ⇒ (~

x = ~

y)).

• A je

”

na“ Q, pokud (∀~

y ∈ Q)(∃~

x ∈ P )(A~

x = ~

y).

Pˇ

r´

ıklad 26. Necht’ X = (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je b´

aze vektorov´

eho prostoru V nad tˇ

elesem T . Ukaˇ

zme,

ˇ

ze souˇ

radnicov´

y izomorfismus (.)X v b´

azi X je skuteˇ

cnˇ

e izomorfismus.

ˇ

Reˇ

sen´

ı: Pˇ

ripomeˇ

nme, ˇ

ze pro kaˇ

zd´

y vektor ~

x ∈ V je souˇ

radnicov´

y izomorfismus definov´

an vzta-

hem (~

x)X =

α1

α2

..

.

αn

, pokud ~

x =

Pn

i=1 αi~

xi. Z D˚

usledku Vˇ