Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

z´ıv´

ame, ˇ

ze

M je podprostor.)

1. A(M ) ⊂ Q pˇ

r´ımo z definice.

2. A(M ) 6= ∅, protoˇ

ze napˇ

r´ıklad ~0Q = A(~0P ) a ~0P ∈ M , proto ~0Q ∈ A(M ).

3. A(M ) je uzavˇ

ren´

a na sˇ

c´ıt´

an´ı, protoˇ

ze pro kaˇ

zd´

e ~

y1, ~

y2 ∈ A(M ) existuj´ı ~x1, ~x2 ∈ M tak,

ˇ

ze ~

y1 = A~x1 a ~

y2 = A~x2, odtud dost´

av´

ame ~

y1 + ~

y2 = A~x1 + A~x2 = A(~x1 + ~x2) ∈ A(M ),

vyuˇ

zili jsme aditivity A a uzavˇ

renosti M na sˇ

c´ıt´

an´ı vektor˚

u.

4. A(M ) je uzavˇ

ren´

a na n´

asoben´ı vektoru ˇ

c´ıslem, protoˇ

ze pro kaˇ

zd´

e ~

y ∈ A(M ) existuje

~

x ∈ M tak, ˇ

ze ~

y = A~

x. Odtud dost´

av´

ame pro kaˇ

zd´

e α ∈ T , ˇ

ze α~

y = αA~

x = A(α~

x) ∈

A(M ), vyuˇ

zili jsme homogenity A a uzavˇ

renosti M na n´

asoben´ı vektoru ˇ

c´ıslem.

• Dokaˇ

zme A−1(N ) ⊂⊂ P .

1. A−1(N ) ⊂ P pˇ

r´ımo z definice.

2. A−1(N ) 6= ∅, protoˇ

ze napˇ

r´ıklad ~0Q = A(~0P ) a ~0Q ∈ N , proto ~0P ∈ A

−1(N ).

3. A−1(N ) je uzavˇ

ren´

a na sˇ

c´ıt´

an´ı, protoˇ

ze pro kaˇ

zd´

e ~

x1, ~x2 ∈ A

−1(N ) plat´ı A~x

1

∈

N, A~

x2 ∈ N a z aditivity A d´

ale dostaneme A(~

x1 + ~x2) = A~x1 + A~x2 ∈ N , proto

~

x1 + ~x2 ∈ A

−1(N ), vyuˇzili jsme uzavˇrenosti N na sˇc´ıt´an´ı vektor˚

u.

4. A−1(N ) je uzavˇ

ren´

a na n´

asoben´ı vektoru ˇ

c´ıslem, protoˇ

ze pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ A−1(N ) plat´ı

A~

x ∈ N a pro kaˇ

zd´

e α ∈ T pak z homogenity A dostaneme A(α~

x) = αA~

x ∈ N , proto

α~

x ∈ A−1(N ), vyuˇ

zili jsme uzavˇ

renosti N na n´

asoben´ı vektoru ˇ

c´ıslem.

5.1

Hodnost, j´

adro, defekt

Definice 22. Necht’ P, Q jsou vektorov´