Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

ze A + B = Θ, staˇ

c´ı poloˇ

zit B =

(−1)A, o kter´

em z uzavˇ

renosti na n´

asoben´ı ˇ

c´ıslem v´ıme, ˇ

ze je line´

arn´ı, a snadno ovˇ

eˇ

r´ıme,

ˇ

ze hraje roli opaˇ

cn´

eho vektoru k A, protoˇ

ze pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ P plat´ı (A + ((−1)A))~

x =

A~

x + ((−1)A)~

x = A~

x + (−1)A~

x = A~

x − A~

x = ~0Q.

(e) Pro kaˇ

zd´

e α, β ∈ T a pro kaˇ

zd´

e A ∈ L(P, Q) plat´ı α(βA) = (αβ)A, protoˇ

ze pro kaˇ

zd´

y

vektor ~

x ∈ P m´

ame (α(βA))~

x = α(βA)~

x = α(βA~

x) = (αβ)A~

x = ((αβ)A)~

x, kde jsme

vyuˇ

zili asociativn´ıho z´

akona vzhledem k operaci n´

asoben´ı ˇ

c´ıslem v Q.

(f) Pro kaˇ

zd´

e A ∈ L(P, Q) plat´ı 1A = A, to plyne pˇ

r´ımo z definice n´

asobku zobrazen´ı

ˇ

c´ıslem.

(g) Pro kaˇ

zd´

e α, β ∈ T a pro kaˇ

zd´

e A ∈ L(P, Q) plat´ı (α+β)A = αA+βA, protoˇ

ze pro kaˇ

zd´

e

~

x ∈ P m´

ame ((α + β)A)~

x = (α + β)A~

x = αA~

x + βA~

x = (αA)~

x + (βA)~

x = (αA + βA)~

x,

kde jsme vyuˇ

zili distributivity operace n´

asoben´ı ˇ

c´ıslem vzhledem ke sˇ

c´ıt´

an´ı ˇ

c´ısel v Q.

(h) Pro kaˇ

zd´

e α ∈ T a pro kaˇ

zd´

e A, B ∈ L(P, Q) plat´ı α(A + B) = αA + αB, protoˇ

ze

pro kaˇ

zd´

e ~

x ∈ P m´

ame (α(A + B))~

x = α(A + B)~

x = α(A~

x + B~

x) = αA~

x + αB~

x =

(αA)~

x + (αB)~

x = (αA + αB)~

x, kde jsme vyuˇ

zili distributivitu operace n´

asoben´ı ˇ

c´ıslem

vzhledem ke sˇ

c´ıt´

an´ı vektor˚

u v Q.

Definice 19. Necht’ V je vektorov´

y prostor nad tˇ

elesem T .

• Je-li A ∈ L(V, V ), naz´

yv´

ame A line´

arn´

ı oper´

ator a p´ıˇ

seme L(V ) m´ısto L(V, V ).

• Je-li ϕ ∈ L(V, T ), naz´