Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

x z Q.

Pozn´

amka 43. Pro kaˇ

zd´

e line´

arn´ı zobrazen´ı A : P → Q plat´ı, ˇ

ze A~0P = ~0Q, pˇriˇcemˇz ~0P je

nulov´

y vektor z P a ~0Q je nulov´

y vektor z Q.

Vysvˇ

etlen´ı: A~0P = A(0 · ~0P ) = 0 · A~0P = ~0Q, kde v prvn´ı a posledn´ı rovnosti je vyuˇzit fakt z Vˇety

1, ˇ

ze 0~a = ~0 pro kaˇ

zd´

y vektor ~a a ve druh´

e rovnosti je vyuˇ

zita homogenita A.

Pˇ

r´

ıklad 24. Uved’me nejzn´

amˇ

ejˇ

s´ı pˇ

r´ıklady line´

arn´ıch zobrazen´ı A : R

2 → R2.

Obr´

azek 3: ˇ

Cervenˇ

e vyznaˇ

ceny vektory a modˇ

re jejich obrazy.

1. zrcadlen´ı podle osy jdouc´ı poˇ

c´

atkem ( 0

0 ),

2. rotace o ´

uhel α po smˇ

eru hodinov´

ych ruˇ

ciˇ

cek (samozˇ

rejmˇ

e, ˇ

ze tak´

e rotace o ´

uhel α proti

smˇ

eru hodinov´

ych ruˇ

ciˇ

cek je line´

arn´ı zobrazen´ı, je to vlastnˇ

e rotace o ´

uhel 2π − α po smˇ

eru

hodinov´

ych ruˇ

ciˇ

cek),

32

3. stˇ

redov´

a soumˇ

ernost,

4. prodlouˇ

zen´ı (zkr´

acen´ı) ve smˇ

eru x (zobrazen´ı pˇ

riˇ

rad´ı vektoru (

x

y ) vektor (

αx

y ), kde pro α > 1

jde o prodlouˇ

zen´ı a pro 0 < α < 1 o zkr´

acen´ı ve smˇ

eru x) nebo ve smˇ

eru y.

U vˇ

sech zobrazen´ı sami ovˇ

eˇ

rte, ˇ

ze jsou line´

arn´ı.

Definice 18. Necht’ P, Q jsou vektorov´

e prostory nad stejn´

ym tˇ

elesem T . Mnoˇ

zinu line´

arn´ıch

zobrazen´ı P → Q znaˇ

c´ıme L(P, Q). Necht’ A, B ∈ L(P, Q) a α ∈ T , pak operace

1. souˇ

cet zobrazen´

ı A + B pro kaˇ

zd´

y vektor ~

x ∈ P definujeme (A + B)~

x = A~

x + B~

x,

2. n´

asoben´

ı zobrazen´

ı A ˇ

c´

ıslem α z T αA pro kaˇ

zd´

y vektor ~

x ∈ P definujeme (αA)~

x = αA~

x.

Vˇ

eta 15. Necht’ P, Q jsou vektorov´

e prostory nad stejn´