Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

cme (~

x1, . . . , ~xn) libovolnou b´

azi P a (~

y1, . . . , ~

ym) libovolnou

b´

azi Q. Dok´

aˇ

zeme-li, ˇ

ze pak (~

x1, . . . , ~xn, ~

y1, . . . , ~

ym) je b´

aze P + Q, bude rovnost (5)

dok´

az´

ana, protoˇ

ze pak bude jasn´

e, ˇ

ze dim (P + Q) + dim (P ∩ Q) = (n + m) + 0 =

dim P + dim Q.
Dokaˇ

zme tedy, ˇ

ze (~

x1, . . . , ~xn, ~

y1, . . . , ~

ym) je b´

aze P + Q.

• Mus´ıme uk´

azat, ˇ

ze (~

x1, . . . , ~xn, ~

y1, . . . , ~

ym) generuje P + Q. Pro kaˇzd´e ~x ∈ P + Q

existuje ~

p ∈ P a ~

q ∈ Q takov´

e, ˇ

ze ~

x = ~

p + ~

q. Jelikoˇ

z ~

p ∈ P , lze ~

p ps´

at jako LK

bazick´

ych vektor˚

u P , tj. existuj´ı ˇ

c´ısla α1, . . . , αn ∈ T takov´

a, ˇ

ze ~

p =

Pn

i=1 αi~

xi,

a podobnˇ

e existuj´ı ˇ

c´ısla β1, . . . , βm ∈ T takov´

a, ˇ

ze ~

q =

Pm

i=1 βi~

yi. Odtud ~x =

Pn

i=1 αi~

xi +

Pm

i=1 βi~

yi, a tedy ~x ∈ [~x1, . . . , ~xn, ~

y1, . . . , ~

ym]λ.

• (~

x1, . . . , ~xn, ~

y1, . . . , ~

ym) je LN, protoˇze libovoln´

a LK

Pn

i=1 αi~

xi +

Pm

i=1 βi~

yi = ~0 je

trivi´

aln´ı. To plyne z n´

asleduj´ıc´ıch ´

uprav:

Pn

i=1 αi~

xi = −

Pm

i=1 βi~

yi, coˇz je vektor

patˇ

r´ıc´ı do P i do Q, tedy leˇ

z´ı v P ∩ Q. Takov´

y vektor je pak ale nutnˇ

e nulov´

y,

tj.

Pn

i=1 αi~

xi = −

Pm

i=1 βi~

yi = ~0. Z LN souboru (~x1, . . . , ~xn) plyne, ˇze α1 = · · · =

αn = 0, a z LN souboru (~

y1, . . . , ~

ym) plyne β1 = · · · = βm = 0, coˇz znamen´

a, ˇ

ze

LK je trivi´

aln´ı.

(b) Necht’ P ∩ Q 6= {~0}. Oznaˇ