Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
0
0
1
0
1
1
2
0
0
−2
−2
.
Z matice v horn´ım stupˇ
novit´
em tvaru vid´ıme, ˇ
ze dim (P + Q) = 3 a b´
aze P + Q je napˇ
r´ıklad
(
1
0
0
,
0
1
1
,
0
1
−1
) (matice m´
a tˇ
ri hlavn´ı sloupce a b´
azi tvoˇ
r´ı vektory odpov´ıdaj´ıc´ı hlavn´ım
sloupc˚
um). Pokud bychom chtˇ
eli jednoduˇ
sˇ
s´ı b´
azi P + Q, staˇ
c´ı si uvˇ
edomit, ˇ
ze P + Q ⊂⊂ R
3
a dim (P + Q) = dim R
3 = 3. Z Vˇety 11 o vlastnostech podprostor˚
u pak dost´
av´
ame, ˇ
ze P + Q = R
3,
takˇ
ze jinou b´
az´ı P + Q je napˇ
r´ıklad E = (
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
).
Z 1. vˇ
ety o dimenzi zjist´ıme, ˇ
ze dim (P ∩ Q) = 2 + 2 − 3 = 1. Jak´
ykoliv nenulov´
y vektor z P ∩ Q je
tedy b´
az´ı. Jelikoˇ
z (
1
0
0
,
0
1
1
,
0
1
−1
,
1
2
0
) je LZ soubor, jistˇ
e najdeme α, β, γ, δ ∈ R
takov´
a, ˇ
ze alespoˇ
n jedno z nich je nenulov´
e a ˇ
ze
α
1
0
0
+ β
0
1
1
+ γ
0
1
−1
+ δ
1
2
0
=
0
0
0
.
Potom
α
1
0
0
+ β
0
1
1
= −γ
0
1
−1
− δ
1
2
0
∈ P ∩ Q.
Jde o hledan´
y nenulov´
y vektor. Kdyby byl totiˇ
z nulov´
y, plynulo by z LN (
1
0
0
,
0
1
1
), ˇ
ze
α = β = 0 a z LN (
0
1
−1
,
1
2
0
), ˇ
ze γ = δ = 0, coˇ
z je spor s pˇ
redpokladem, ˇ
ze alespoˇ
n jedno
z ˇ
c´ısel α, β, γ, δ je nenulov´
e. Nezn´
am´
e najdeme ze stejn´
e matice jako pˇ
ri vyˇ
setˇ
rov´
an´ı b´
aze P + Q:
1
0
0
1
0
1
1
2
0
1
−1
0
∼
1
0
0
1
0
1
1
2
0
0
−2
−2
.
Pˇ
ri volbˇ
e δ = −1, dopoˇ
cteme uˇ
z jednoznaˇ
cnˇ
e nezn´
am´
e odpov´ıdaj´ıc´ı hlavn´ım sloupc˚
um γ = 1, β = 1
a α = 1. Odtud
1
0
0
+
0
1
1
= −
0
1
−1
+
1
2
0
=
1
1
1
∈ P ∩ Q.
Tedy (
1
1
1
) je b´
aze P ∩ Q.
4.2
Doplnˇ
ek podprostoru
Definice 16. Necht’ V je vektorov´
y prostor koneˇ
cn´
e dimenze nad tˇ
elesem T a necht’ P, Q ⊂⊂ V .