Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

y1, . . . , ~

ym]λ.

• Ukaˇzme nejprve, ˇze P + Q ⊂ [~

x1, . . . , ~xn, ~

y1, . . . , ~

ym]λ.

Necht’ ~

x ∈ P + Q, pak existuj´ı ~

p ∈ P a ~

q ∈ Q takov´

e, ˇ

ze ~

x = ~

p + ~

q. Jelikoˇ

z ~

p ∈ P , je ~

p LK

gener´

ator˚

u P , tj. existuj´ı ˇ

c´ısla α1, . . . , αn ∈ T takov´

a, ˇ

ze ~

p =

Pn

i=1 αi~

xi, a podobnˇe existuj´ı

ˇ

c´ısla β1, . . . , βm ∈ T takov´

a, ˇ

ze ~

q =

Pm

i=1 βi~

yi. Odtud ~x =

Pn

i=1 αi~

xi +

Pm

i=1 βi~

yi, a tedy

~

x ∈ [~

x1, . . . , ~xn, ~

y1, . . . , ~

ym]λ.

• Analogicky uk´

aˇ

zeme, ˇ

ze [~

x1, . . . , ~xn, ~

y1, . . . , ~

ym]λ ⊂ P + Q.

Necht’ ~

x ∈ [~

x1, . . . , ~xn, ~

y1, . . . , ~

ym]λ. Pak existuj´ı ˇc´ısla α1, . . . , αn, β1, . . . , βm ∈ T takov´

a, ˇ

ze

~

x =

Pn

i=1 αi~

xi +

Pm

i=1 βi~

yi. Jelikoˇz

Pn

i=1 αi~

xi ∈ P a

Pm

i=1 βi~

yi ∈ Q, vid´ıme, ˇze ~x ∈ P + Q.

4.1

1. vˇ

eta o dimenzi

Vˇ

eta 13 (1. vˇ

eta o dimenzi). Necht’ V je vektorov´

y prostor nad tˇ

elesem T a P, Q ⊂⊂ V . Necht’

dim P < +∞ a dim Q < +∞. Pak plat´ı:

dim (P + Q) + dim (P ∩ Q) = dim P + dim Q.

(5)

D˚

ukaz. Rozdˇ

el´ıme d˚

ukaz na nˇ

ekolik pˇ

r´ıpad˚

u:

1. Je-li P = {~0}, pak P + Q = Q a P ∩ Q = P a platnost rovnosti (5) je zˇ

rejm´

a.

2. Je-li Q = {~0}, je stejnˇ

e jako v pˇ

redchoz´ım rovnost (5) zˇ

rejm´

a.

3. Je-li P 6= {~0} a Q 6= {~0}, oznaˇ

cme n = dim P a m = dim Q, plat´ı tedy n, m ∈ N. Rozliˇs´ıme

dva pˇ

r´ıpady:

28

(a) Necht’ P ∩ Q = {~0}. Oznaˇ