Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

az´ı V . Protoˇ

ze P ⊂ V , je

(~

x1, . . . , ~xn) b´

az´ı V , a tedy V = [~

x1, . . . , ~xn]λ = P .

Definice 14. Necht’ V je vektorov´

y prostor nad tˇ

elesem T . Trivi´

aln´ımi podprostory nazveme {~0}

a V . Pokud P ⊂⊂ V a P 6= V , pak P nazveme vlastn´ı podprostor.

D˚

usledek 3 (D˚

usledek Vˇ

ety 11 o vlastnostech podprostor˚

u). Necht’ V je vektorov´

y prostor nad

tˇ

elesem T . Necht’ dim V < +∞ a necht’ P ⊂⊂ V . Pokud P je vlastn´ı podprostor V , pak dim P <

dim V .

D˚

ukaz. Z v´

yrokov´

e logiky v´ıme, ˇ

ze pro libovoln´

e v´

yroky A, B plat´ı (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A). Z 6.

bodu Vˇ

ety 11 o vlastnostech podprostor˚

u dostaneme: P 6= V ⇒ dim P 6= dim V . Jelikoˇ

z P ⊂⊂ V

a jelikoˇ

z podle 5. bodu pˇ

redchoz´ı vˇ

ety plat´ı dim P ≤ dim V , m˚

uˇ

zeme pˇ

repsat pˇ

redchoz´ı implikaci

do tvaru: P je vlastn´ı podprostor V ⇒ dim P < dim V .

Pˇ

r´

ıklad 20. Vrat’me se k podprostor˚

um v R

2 a R3. Z Vˇety 11 o vlastnostech podprostor˚

u jsme se

dozvˇ

edˇ

eli, ˇ

ze kaˇ

zd´

y podprostor je z´

aroveˇ

n vektorov´

y prostor, m´

a tedy dimenzi, a ˇ

ze pro dimenzi plat´ı,

ˇ

ze je ≤ 2 (jde-li o podprostor R

2) nebo ≤ 3 (jde-li o podprostor v R3). Bud’ jsou tedy podprostory

nulov´

e, nebo maj´ı b´

azi maxim´

alnˇ

e 2, respektive 3-ˇ

clennou, jej´ımiˇ

z jsou LO. Odtud tedy plyne, ˇ

ze

ˇ

z´

adn´

e jin´

e podprostory neˇ

z ty, kter´

e jsme popsali v´

yˇ

se, v R

2 a R3 neexistuj´ı.

Definice 15. Necht’ A, B jsou podmnoˇ

ziny vektorov´

eho prostoru V nad tˇ

elesem T (ne nutnˇ

e

podprostory!). Souˇ

ctem A a B nazveme mnoˇ