Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
usledku Steinitzovy vˇ
ety o b´
azi.
Pˇ
r´
ıklad 15. Doplˇ
nte (~
x1, ~x2) na b´
azi R
4, je-li
~
x1 =
2
−1
0
0
, ~
x2 =
0
2
−1
0
.
ˇ
Reˇ
sen´
ı: Uvaˇ
zujme standardn´ı b´
azi R
4 a v n´ı dva vektory nahrad´ıme vektory ~x1 a ~x2 (to jistˇe
p˚
ujde, nebot’ ~
x1 a ~x2 nejsou jeden n´
asobkem druh´
eho, a tedy jsou LN). Jistˇ
e plat´ı
R
4 = [
2
−1
0
0
,
0
2
−1
0
,
1
0
0
0
,
0
1
0
0
,
0
0
1
0
,
0
0
0
1
]λ.
Vyhod´ıme z LO nadbyteˇ
cn´
e vektory a z˚
ustane n´
am hledan´
a b´
aze. Uˇ
z dopˇ
redu v´ıme, ˇ
ze bude 4-
ˇ
clenn´
a, protoˇ
ze dim R
4 = 4. Pˇrevedli jsme tedy ´
ulohu na probl´
em vybrat b´
azi ze souboru gener´
ator˚
u,
viz Pˇ
r´ıklad 14. Vytvoˇ
r´ıme tedy matici, jej´ımiˇ
z sloupci jsou vektory ~
x1, ~x2, ~e1, ~e2, ~e3, ~e4. Z matice v
horn´ım stupˇ
novit´
em tvaru pak vyˇ
cteme, kter´
e vektory jsou LK pˇ
redchoz´ıch a lze je z LO vyhodit.
2
0
1
0
0
0
−1
2
0
1
0
0
0
−1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
∼
−1
2
0
1
0
0
0
4
1
2
0
0
0
−1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
∼
−1
2
0
1
0
0
0
−1
0
0
1
0
0
0
1
2
4
0
0
0
0
0
0
1
.
Z matice v horn´ım stupˇ
novit´
em tvaru vid´ıme, ˇ
ze ~
e2 a ~e3 odpov´ıdaj´ı vedlejˇs´ım sloupc˚
um, a jsou
proto LK pˇ
redchoz´ıch a lze je tedy z LO vyhodit, aniˇ
z by se zmˇ
enil. Konkr´
etnˇ
e ~
e2 = −~x1 + 2~e1 a
~
e3 = −2~x1 − ~x2 + 4~e1. Proto R
4 = [~x1, ~x2, ~e1, ~e4]λ. Podle 3. d˚
usledku Steinitzovy vˇ
ety je 4-ˇ
clenn´
y
soubor gener´
ator˚
u (~
x1, ~x2, ~e1, ~e4) LN, a tedy jde o hledanou b´
azi. Rozmyslete si, ˇ
ze je d˚
uleˇ
zit´
e
napsat si v matici dopˇ
redu ty vektory, kter´
e m´
a hledan´
a b´
aze obsahovat!
22
3.3
Souˇ
radnice
Vˇ
eta 9 (Jednoznaˇ
cnost vyj´
adˇ
ren´ı vektoru pomoc´ı LK b´
aze). Necht’ (~
x1, ~x2, . . . , ~xn) je b´
aze vek-
torov´
eho prostoru V nad tˇ
elesem T . Pak pro kaˇ
zd´
y vektor ~