Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
u, d´
ame je tedy do matice tak, aby se n´
am co nejsn´
aze
pˇ
rev´
adˇ
ela na horn´ı stupˇ
novit´
y tvar.
(~
x2~x3~x1~x4) ∼
−1
1
−3
2
1
−1
3
−2
3
6
0
3
1
−3
5
−4
∼
−1
1
−3
2
0
0
0
0
0
9
−9
9
0
−2
2
−2
∼
−1
1
−3
2
0
1
−1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
.
Vid´ıme, ˇ
ze 3. a 4. sloupec jsou vedlejˇ
s´ı, tedy jim odpov´ıdaj´ıc´ı vektory jsou LK pˇ
redchoz´ıch. Konkr´
etnˇ
e
~
x1 = 2~x2 − ~x3 a ~x4 = −~x2 + ~x3. Proto lze vektory ~x1 a ~x4 z LO vyhodit, aniˇz by se zmˇenil, tj.
P = [~
x2, ~x3]λ. Z matice tak´e vid´ıme, ˇze vektor˚
um ~
x2 a ~x3 odpov´ıdaj´ı hlavn´ı sloupce, jsou tedy LN
a tvoˇ
r´ı hledanou b´
azi. B´
aze nen´ı jedin´
a moˇ
zn´
a. Z horn´ıho stupˇ
novit´
eho tvaru vyˇ
ctete snadno, ˇ
ze
napˇ
r´ıklad (~
x1, ~x2) nebo (~x2, ~x4) jsou tak´e b´
aze P .
Vˇ
eta 8 (O doplnˇ
en´ı LN souboru na b´
azi). Necht’ n ∈ N a necht’ V je vektorov´y prostor nad tˇelesem
T a dim V = n. Necht’ k ∈ ˆ
n a (~
x1, . . . , ~xk) je LN soubor ve V . Pak existuj´ı vektory ~xk+1, . . . , ~xn
takov´
e, ˇ
ze (~
x1, . . . , ~xk, ~xk+1, . . . , ~xn) je b´
az´ı V .
D˚
ukaz. Podle Vˇ
ety 6 (Alternativn´ı definice dimenze) existuje ve V n-ˇ
clenn´
a b´
aze (~
y1, . . . , ~
yn).
Uˇ
zit´ım Steinitzovy vˇ
ety (jen pozor na to, ˇ
ze m ze Steinitzovy vˇ
ety je nyn´ı n a n ze Steinitzovy
vˇ
ety je nyn´ı k) v´ıme, ˇ
ze existuj´ı indexy i1, . . . , ik ∈ ˆ
n takov´
e, ˇ
ze [~
y1, . . . , ~
yn]λ = [~x1, . . . , ~xk, (~
yi
i ∈ ˆ
n − {i1, . . . , ik})]λ. Jelikoˇz je soubor (~x1, . . . , ~xk, (~
yi
i ∈ ˆ
n − {i1, . . . , ik})) n-ˇclenn´
y generuj´ıc´ı
soubor V , jde podle 3. d˚