Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

plyne z pˇ

redpoklad˚

u vˇ

ety, ˇ

ze ~

xm+1 ∈ [~

y1, . . . , ~

ym]λ = [~x1, . . . , ~xm]λ, t´ım jsme ale dostali spor s LN

souboru (~

x1, . . . , ~xm, ~xm+1) podle Alternativn´ı definice LZ (7. bod Vˇety 4 o vlastnostech LN a LZ

soubor˚

u).

S uˇ

zit´ım pr´

avˇ

e dok´

azan´

eho 1. bodu Steinitzovy vˇ

ety v´ıme, ˇ

ze min{m, n} = n. Tedy 2. bod Steini-

tzovy vˇ

ety dostaneme z pomocn´

eho tvrzen´ı dosazen´ım k = n.

Pˇ

r´

ıklad 12. N´

avrat k pˇ

r´ıkladu v R

4, kde vyˇsetˇrujeme dimenzi V = [

1
0
0
0

,

0
1
0
0

,

0
0
1
0

]λ.

Jiˇ

z v´ıme, ˇ

ze dim V ≥ 3. Jelikoˇ

z V m´

a 3-ˇ

clenn´

y generuj´ıc´ı soubor, Steinitzova vˇ

eta tvrd´ı, ˇ

ze LN

soubory ve V maj´ı maxim´

alnˇ

e 3 ˇ

cleny, a tedy kaˇ

zd´

y 4-ˇ

clenn´

y soubor je LZ. To uˇ

z podle definice

dimenze znamen´

a, ˇ

ze dim V = 3.

Steinitzova vˇ

eta umoˇ

zˇ

nuje zav´

est alternativn´ı definici dimenze, kter´

a d´

av´

a do souvislosti pojem

dimenze a b´

aze.

19

Vˇ

eta 6 (Alternativn´ı definice dimenze). Necht’ n ∈ N a necht’ V je vektorov´y prostor nad tˇelesem

T . Pak dim V = n tehdy a jen tehdy, kdyˇ

z ve V existuje n-ˇ

clenn´

a b´

aze.

D˚

ukaz. Dokazujeme ekvivalenci, tedy dvˇ

e implikace.

(⇒) : Necht’ dim V = n, pak ve V existuje podle definice dimenze n-ˇ

clenn´

y LN soubor, oznaˇ

cme

jej (~

x1, ~x2, . . . , ~xn). Uk´

aˇ

zeme, ˇ

ze tento soubor je b´

az´ı, tedy ˇ

ze V = [~

x1, ~x2, . . . , ~xn]λ. Kdyby soubor

negeneroval V , tedy V % [~x1, ~x2, . . . , ~xn]λ, pak by ve V existoval vektor ~xn+1 6∈ [~x1, ~x2, . . . , ~xn]λ.
Potom by ale soubor (~

x1, ~x2, . . . , ~xn, ~xn+1) byl LN, coˇz je spor s dim V = n.