Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

clenn´

y LN soubor, zat´ım tedy v´ıme, ˇ

ze

dim V ≥ 3. Abychom dok´

azali, ˇ

ze dim V = 3, museli bychom ovˇ

eˇ

rit, ˇ

ze kaˇ

zd´

y 4-ˇ

clenn´

y soubor z

V uˇ

z je LZ. N´

asleduj´ıc´ı vˇ

eta n´

am tuto pr´

aci uˇ

setˇ

r´ı.

Vˇ

eta 5 (Steinitzova vˇ

eta o v´

ymˇ

enˇ

e, 1913). Necht’ (~

x1, ~x2, . . . , ~xn) je LN soubor vektor˚

u z vekto-

rov´

eho prostoru V nad tˇ

elesem T . Necht’ d´

ale soubor (~

y1, ~

y2, . . . , ~

ym) vektor˚

u z V splˇ

nuje, ˇ

ze pro

kaˇ

zd´

e i ∈ ˆ

n

~

xi ∈ [~

y1, ~

y2, . . . , ~

ym]λ.

Pak plat´ı:

1. m ≥ n,

2. existuj´ı vz´

ajemnˇ

e r˚

uzn´

e indexy i1, i2, . . . , in ∈ ˆ

m takov´

e, ˇ

ze

[~

y1, ~

y2, . . . , ~

ym]λ = [~x1, ~x2, . . . , ~xn, (~

yi

i ∈ ˆ

m − {i1, i2, . . . , in})]λ.

Pozn´

amka 29.

Z 1. bodu Steinitzovy vˇ

ety plyne, ˇ

ze poˇ

cet ˇ

clen˚

u LN souboru ve vektorov´

em prostoru nepˇ

rekroˇ

c´ı

poˇ

cet gener´

ator˚

u tohoto prostoru.

2. bod vˇ

ety ˇ

r´ık´

a, ˇ

ze v LO existuj´ı gener´

atory, kter´

e lze nahradit LN vektory (z´

apis na prav´

e stranˇ

e

tedy znamen´

a, ˇ

ze z LO byly vyhozeny gener´

atory ~

yi

1 , ~

yi

2 , . . . , ~

yi

n ), proto vˇ

eta o v´

ymˇ

enˇ

e. Vˇ

eta ale

neˇ

r´ık´

a, kter´

e z gener´

ator˚

u m´

ame vyhodit.

D˚

ukaz. Nejprve dok´

aˇ

zeme pomocn´

e tvrzen´

ı:

Pro kaˇ

zd´

e k ∈

\

min{m, n} existuj´ı vz´

ajemnˇ

e r˚

uzn´

e indexy i1, i2, . . . , ik ∈ ˆ

m takov´

e, ˇ

ze

[~

y1, ~

y2, . . . , ~

ym]λ = [~x1, ~x2, . . . , ~xk, (~

yi

i ∈ ˆ

m − {i1, i2, . . . , ik})]λ.

D˚

ukaz provedeme indukc´ı podle k.

• Pro k = 1 chceme dok´

azat, ˇ

ze existuje index i1 ∈ ˆ

m takov´

y, ˇ