Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
yi
i ∈ ˆ
m − {i1, i2, . . . , ik})]λ plyne
1. uˇ
zit´ım Vˇ
ety 3 o vlastnostech LO, ˇ
ze
[~
y1, ~
y2, . . . , ~
ym]λ = [~x1, ~x2, . . . , ~xk, ~xk+1, (~
yi
i ∈ ˆ
m − {i1, i2, . . . , ik})]λ,
(4)
2. uˇ
zit´ım Vˇ
ety 4 o vlastnostech LN a LZ soubor˚
u, ˇ
ze (~
x1, ~x2, . . . , ~xk, ~xk+1, (~
yi
i ∈ ˆ
m −
{i1, i2, . . . , ik})) je LZ soubor.
D´
ale uˇ
zit´ım Alternativn´ı definice LZ (7. bod Vˇ
ety 4 o vlastnostech LN a LZ soubor˚
u) dosta-
neme, ˇ
ze nˇ
ekter´
y z y-ov´
ych vektor˚
u (jeho index oznaˇ
c´ıme ik+1) je LK pˇredchoz´ıch vektor˚
u
v souboru (vyuˇ
zili jsme faktu, ˇ
ze soubor (~
x1, . . . , ~xk+1) je LN, a tedy ~x1 6= ~0 a tak´e ˇz´
adn´
y
z vektor˚
u ~
xi nen´ı LK pˇredchoz´ıch vektor˚
u ~
x1, . . . , ~xi−1), tj. z Vˇety 3 o vlastnostech LO
plyne, ˇ
ze ~
yi
k+1
lze z [~
x1, ~x2, . . . , ~xk, ~xk+1, (~
yi
i ∈ ˆ
m − {i1, i2, . . . , ik})]λ vyhodit, aniˇz by
se LO zmˇ
enil. A na z´
avˇ
er podle (4) m´
ame [~
y1, ~
y2, . . . , ~
ym]λ = [~x1, . . . , ~xk, ~xk+1, (~
yi
i ∈
ˆ
m − {i1, i2, . . . , ik, ik+1})]λ.
Dokaˇ
zme 1. bod Steinitzovy vˇ
ety. Budeme postupovat sporem. Pˇ
redpokl´
adejme, ˇ
ze n > m. Pak ale
podle pomocn´
eho tvrzen´ı existuj´ı vz´
ajemnˇ
e r˚
uzn´
e indexy i1, i2, . . . , im ∈ ˆ
m (coˇ
z jsou ale tedy nutnˇ
e
vˇ
sechna ˇ
c´ısla z mnoˇ
ziny ˆ
m) takov´
e, ˇ
ze [~
y1, . . . , ~
ym]λ = [~x1, . . . , ~xm, (~
yi
i ∈ ˆ
m−{i1, i2, . . . , im})]λ =
[~
x1, . . . , ~xm]λ, kde posledn´ı rovnost plyne z faktu, ˇze ˆ
m − {i1, i2, . . . , im} = ∅. Jelikoˇz je n > m,