Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

yi

i ∈ ˆ

m − {i1, i2, . . . , ik})]λ plyne

1. uˇ

zit´ım Vˇ

ety 3 o vlastnostech LO, ˇ

ze

[~

y1, ~

y2, . . . , ~

ym]λ = [~x1, ~x2, . . . , ~xk, ~xk+1, (~

yi

i ∈ ˆ

m − {i1, i2, . . . , ik})]λ,

(4)

2. uˇ

zit´ım Vˇ

ety 4 o vlastnostech LN a LZ soubor˚

u, ˇ

ze (~

x1, ~x2, . . . , ~xk, ~xk+1, (~

yi

i ∈ ˆ

m −

{i1, i2, . . . , ik})) je LZ soubor.

D´

ale uˇ

zit´ım Alternativn´ı definice LZ (7. bod Vˇ

ety 4 o vlastnostech LN a LZ soubor˚

u) dosta-

neme, ˇ

ze nˇ

ekter´

y z y-ov´

ych vektor˚

u (jeho index oznaˇ

c´ıme ik+1) je LK pˇredchoz´ıch vektor˚

u

v souboru (vyuˇ

zili jsme faktu, ˇ

ze soubor (~

x1, . . . , ~xk+1) je LN, a tedy ~x1 6= ~0 a tak´e ˇz´

adn´

y

z vektor˚

u ~

xi nen´ı LK pˇredchoz´ıch vektor˚

u ~

x1, . . . , ~xi−1), tj. z Vˇety 3 o vlastnostech LO

plyne, ˇ

ze ~

yi

k+1

lze z [~

x1, ~x2, . . . , ~xk, ~xk+1, (~

yi

i ∈ ˆ

m − {i1, i2, . . . , ik})]λ vyhodit, aniˇz by

se LO zmˇ

enil. A na z´

avˇ

er podle (4) m´

ame [~

y1, ~

y2, . . . , ~

ym]λ = [~x1, . . . , ~xk, ~xk+1, (~

yi

i ∈

ˆ

m − {i1, i2, . . . , ik, ik+1})]λ.

Dokaˇ

zme 1. bod Steinitzovy vˇ

ety. Budeme postupovat sporem. Pˇ

redpokl´

adejme, ˇ

ze n > m. Pak ale

podle pomocn´

eho tvrzen´ı existuj´ı vz´

ajemnˇ

e r˚

uzn´

e indexy i1, i2, . . . , im ∈ ˆ

m (coˇ

z jsou ale tedy nutnˇ

e

vˇ

sechna ˇ

c´ısla z mnoˇ

ziny ˆ

m) takov´

e, ˇ

ze [~

y1, . . . , ~

ym]λ = [~x1, . . . , ~xm, (~

yi

i ∈ ˆ

m−{i1, i2, . . . , im})]λ =

[~

x1, . . . , ~xm]λ, kde posledn´ı rovnost plyne z faktu, ˇze ˆ

m − {i1, i2, . . . , im} = ∅. Jelikoˇz je n > m,