Skripta - Lineární algebra 1 - Ing. Ĺubomíra Balková

(tedy znaˇ

cen´ı Pn je voleno pr´

avˇ

e tak, aby n odpov´ıdalo dimenzi).

4. V prostoru P vˇ

sech polynom˚

u je pro kaˇ

zd´

e n soubor (e1, e2, . . . , en) definovan´

y stejnˇ

e jako v

pˇ

redchoz´ım bodˇ

e LN, proto dim P = +∞.

Steinitzova vˇ

eta m´

a jeˇ

stˇ

e dalˇ

s´ı dva d˚

uleˇ

zit´

e d˚

usledky. Zformulujeme je ve tvaru vˇ

et.

Vˇ

eta 7 (O v´

ybˇ

eru b´

aze ze souboru gener´

ator˚

u). Necht’ n ∈ N a necht’ V je vektorov´y prostor nad

tˇ

elesem T a dim V = n. Necht’ [~

y1, ~

y2, . . . , ~

ym]λ = V . Pak existuj´ı indexy i1, i2, . . . , in ∈ ˆ

m takov´

e,

ˇ

ze (~

yi

1 , ~

yi

2 , . . . , ~

yi

n ) tvoˇ

r´ı b´

azi V .

D˚

ukaz.

• Pˇr´ıpad m < n podle Steinitzovy vˇ

ety nenast´

av´

a.

• Je-li m = n, pak podle 3. d˚

usledku Steinitzovy vˇ

ety je (~

y1, . . . , ~

ym) b´

az´ı V .

• Je-li m > n, pak je soubor (~

y1, . . . , ~

ym) LZ a podle Alternativn´ı definice LZ (6. bod Vˇety 4

o vlastnostech LN a LZ soubor˚

u) lze z [~

y1, ~

y2, . . . , ~

ym]λ vyhodit jeden z gener´

ator˚

u, aniˇ

z by

se obal zmˇ

enil.

• Je-li m − 1 = n, pak je soubor z´ıskan´

y z p˚

uvodn´ıho vyhozen´ım jednoho vektoru hledanou

b´

az´ı.

• Je-li m − 1 > n, pak pokraˇ

cujeme analogicky.

Pˇ

r´

ıklad 14. Uvaˇ

zujme R

4. Necht’ P = [~x1, ~x2, ~x3, ~x4]λ, kde

~

x1 =

−3

3
0
5

, ~

x2 =

−1

1
3
1

, ~

x3 =

1

−1

6

−3

, ~

x4 =

2

−2

3

−4

.

Vyberte ze souboru gener´

ator˚

u (~

x1, ~x2, ~x3, ~x4) b´

azi P .

ˇ

Reˇ

sen´

ı: Postupujeme jako pˇ

ri vyˇ

setˇ

rov´

an´ı LN a LZ, tedy vytvoˇ

r´ıme matici, jej´ımiˇ

z sloupci jsou

21

gener´

atory P . V LO nez´

aleˇ

z´ı na poˇ

rad´ı vektor˚